Calcolo Esempi

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $\frac{π}{3}$ a $x$ .

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$y = \sin (2 \frac{π}{3})$

Passaggio 1.2.2.2

$2$ e $\frac{π}{3}$ .

$y = \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 1.2.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$y = \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.2.2.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{π}{3}$ e $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin (x) \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.5

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Passaggio 2.9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Passaggio 2.10

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Passaggio 2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 2.12

Somma $1$ e $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Passaggio 2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.13.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.14

Calcola la derivata per $x = \frac{π}{3}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.3.5

Calcola l'esponente.

$- 2 \frac{3}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 2 (\frac{3}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1.5.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{3}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.5.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.6

Riscrivi $- 1 (\frac{3}{2})$ come $- (\frac{3}{2})$ .

$- (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 2.15.1.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 2.15.1.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 2.15.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{3}{2} + 2 (\frac{1}{4})$

Passaggio 2.15.1.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1.11.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 (2)}$

Passaggio 2.15.1.11.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.15.1.11.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 2.15.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 + 1}{2}$

Passaggio 2.15.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.2.1

Somma $- 3$ e $1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Passaggio 2.15.2.2.2

Dividi $- 2$ per $2$ .

$- 1$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 1$ e un punto dato $(\frac{π}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $- 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 x - 1 (- \frac{π}{3})$

Passaggio 3.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x - 1 (- \frac{π}{3})$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $- 1 (- \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + 1 \frac{π}{3}$

Passaggio 3.3.1.5.2

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + \frac{π}{3}$

Passaggio 3.3.2

Somma $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - x + \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.3.3.2

Per scrivere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.3.3.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.3.3.3.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.3.3.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Passaggio 3.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - x + \frac{π \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Passaggio 3.3.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$y = - x + \frac{2 \cdot π + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Passaggio 3.3.3.5.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$y = - x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 4