Calcolo Esempi

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{2}$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $\frac{π}{2}$ a $x$ .

$y = 8 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 8 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $8 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$y = 8 \cdot 1 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $8$ per $1$ .

$y = 8 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$y = 8 \cdot 0$

Passaggio 1.2.2.4

Moltiplica $8$ per $0$ .

$y = 0$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{π}{2}$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \sin (x) \cos (x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.5

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Passaggio 2.9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Passaggio 2.10

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Passaggio 2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 2.12

Somma $1$ e $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Passaggio 2.13

Semplifica.

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Passaggio 2.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.13.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.14

Calcola la derivata per $x = \frac{π}{2}$ .

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 2.15

Semplifica.

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Passaggio 2.15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 8 \cdot 1^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 2.15.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 8 \cdot 1 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 2.15.1.3

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- 8 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 2.15.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- 8 + 8 \cdot 0^{2}$

Passaggio 2.15.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 8 + 8 \cdot 0$

Passaggio 2.15.1.6

Moltiplica $8$ per $0$ .

$- 8 + 0$

Passaggio 2.15.2

Somma $- 8$ e $0$ .

$- 8$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 8$ e un punto dato $(\frac{π}{2}, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 8 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = - 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = - 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $- 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - 8 x - 8 (- \frac{π}{2})$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$y = - 8 x - 8 \frac{- π}{2}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$y = - 8 x + 2 (- 4) \frac{- π}{2}$

Passaggio 3.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = - 8 x + 2 \cdot - 4 \frac{- π}{2}$

Passaggio 3.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - 8 x - 4 (- π)$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = - 8 x + 4 π$

Passaggio 4