Calcolo Esempi

$y = \sin (\sin (x))$ , $(π, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = π$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \cos (x)$

Passaggio 1.3

Riordina i fattori di $\cos (\sin (x)) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (\sin (x))$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = π$ .

$\cos (π) \cos (\sin (π))$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \cos (0) \cos (\sin (π))$

Passaggio 1.5.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1 \cos (\sin (π))$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 \cos (\sin (π))$

Passaggio 1.5.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 1 \cos (\sin (0))$

Passaggio 1.5.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 1 \cos (0)$

Passaggio 1.5.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 1.5.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 1$ e un punto dato $(π, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 1 \cdot (x - (π))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = - 1 \cdot (x - π)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = - 1 \cdot (x - π)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $- 1 \cdot (x - π)$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - 1 x - 1 (- π)$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y = - x - 1 (- π)$

Passaggio 2.3.2.3

Moltiplica $- 1 (- π)$ .

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Passaggio 2.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = - x + 1 π$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica $π$ per $1$ .

$y = - x + π$

Passaggio 3