Calcolo Esempi

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(- \frac{π}{4}, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = - \frac{π}{4}$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.3

Riordina i fattori di $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = - \frac{π}{4}$ .

$2 \sec^{2} (- \frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 \sec^{2} (\frac{7 π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.3

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{4})$ è $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.5.5.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.5.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 1.5.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.5.6.5

Calcola l'esponente.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.6.1

Elimina il fattore comune.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.6.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 1.5.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 2^{1} \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.7.5

Calcola l'esponente.

$2 \cdot 2 \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \tan (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.9

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$4 \tan (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 1.5.10

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel quarto quadrante.

$4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Passaggio 1.5.11

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$4 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.5.12

Moltiplica $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 1.5.12.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 \cdot - 1$

Passaggio 1.5.12.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 4$ e un punto dato $(- \frac{π}{4}, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 4 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - 4 x - 4 \frac{π}{4}$

Passaggio 2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y - 1 = - 4 x + 4 (- 1) \frac{π}{4}$

Passaggio 2.3.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$y - 1 = - 4 x + 4 \cdot - 1 \frac{π}{4}$

Passaggio 2.3.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y - 1 = - 4 x - 1 π$

Passaggio 2.3.1.5

Riscrivi $- 1 π$ come $- π$ .

$y - 1 = - 4 x - π$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 4 x - π + 1$

Passaggio 3