Calcolo Esempi

$\int (x + 3) {(x - 1)}^{5} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (u + 1 + 3) u^{5} d u$

Passaggio 2

Somma $1$ e $3$ .

$\int (u + 4) u^{5} d u$

Passaggio 3

Moltiplica $(u + 4) u^{5}$ .

$\int u \cdot u^{5} + 4 u^{5} d u$

Passaggio 4

Moltiplica $u$ per $u^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $u$ per $u^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u^{5} + 4 u^{5} d u$

Passaggio 4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{1 + 5} + 4 u^{5} d u$

Passaggio 4.2

Somma $1$ e $5$ .

$\int u^{6} + 4 u^{5} d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{6} d u + \int 4 u^{5} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{6}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \int 4 u^{5} d u$

Passaggio 7

Poiché $4$ è costante rispetto a $u$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 4 \int u^{5} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 4 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica.

$\frac{1}{7} u^{7} + 4 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

$4$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{4}{6} u^{6} + C$

Passaggio 9.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $6$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 (2)}{6} u^{6} + C$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{6} + C$

Passaggio 9.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{6} + C$

Passaggio 9.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2}{3} u^{6} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{7} {(x - 1)}^{7} + \frac{2}{3} {(x - 1)}^{6} + C$