Calcolo Esempi

$y = {(\sqrt{x^{3}} + \sqrt{x^{5}})}^{n}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{d}{d x} [{(\sqrt{x^{3}} + \sqrt{x^{5}})}^{n}]$ come $\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$ .

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Passaggio 1.1

Metti in evidenza $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\sqrt{x^{2} x} + \sqrt{x^{5}})}^{n}]$

Passaggio 1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + \sqrt{x^{5}})}^{n}]$

Passaggio 1.3

Riscrivi $x^{5}$ come ${(x^{2})}^{2} x$ .

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Passaggio 1.3.1

Metti in evidenza $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + \sqrt{x^{4} x})}^{n}]$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + \sqrt{{(x^{2})}^{2} x})}^{n}]$

Passaggio 1.4

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

Passaggio 3

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{1} x^{\frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

Passaggio 3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [{(x^{1 + \frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

Passaggio 3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

Passaggio 3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2 + 1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

Passaggio 3.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2} x^{\frac{1}{2}})}^{n}]$

Passaggio 5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 + \frac{1}{2}})}^{n}]$

Passaggio 5.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n}]$

Passaggio 5.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n}]$

Passaggio 5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{n}]$

Passaggio 5.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{n}]$

Passaggio 5.5.2

Somma $4$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n}]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{n}$ e $g (x) = x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{n}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = n$ .

$n u^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ .

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Passaggio 6.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 + \frac{1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 6.3.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 6.3.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 6.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 6.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 6.3.5.2

Somma $4$ e $1$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 7

Differenzia.

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Passaggio 7.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Passaggio 8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Passaggio 9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Passaggio 10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Passaggio 11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Passaggio 11.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Passaggio 12

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Passaggio 14

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 15

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 17

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 17.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Passaggio 17.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 18

$\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 19

Semplifica.

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Passaggio 19.1

Applica la proprietà distributiva.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 19.2

Moltiplica $n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Passaggio 19.2.1

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $n$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n}{2} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 19.2.2

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n}{2}$ e ${(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2} + n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 19.3

Moltiplica $n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ e $n$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} n}{2} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$

Passaggio 19.3.2

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} n}{2}$ e ${(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

Passaggio 19.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 x^{\frac{3}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

Passaggio 19.5

Riordina i fattori in $3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 x^{\frac{3}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ .

$\frac{3 n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

Passaggio 19.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.6.1

Scomponi $n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ da $3 n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.6.1.1

Scomponi $n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ da $3 n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ .

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3) + 5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

Passaggio 19.6.1.2

Scomponi $n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ da $5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ .

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3) + n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (5 x^{\frac{2}{2}})}{2}$

Passaggio 19.6.1.3

Scomponi $n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ da $n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3) + n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (5 x^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3 + 5 x^{\frac{2}{2}})}{2}$

Passaggio 19.6.2

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3 + 5 x^{1})}{2}$

Passaggio 19.6.3

Semplifica.

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3 + 5 x)}{2}$