Calcolo Esempi

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Passaggio 1.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1)}$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Passaggio 1.3.1.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{0}{\ln (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Passaggio 1.3.1.4

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Passaggio 1.3.1.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $0$ .

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{0}{\ln (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1 \cdot 1)}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1)}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Passaggio 1.3.3.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (t)$ rispetto a $t$ è $\cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 2 e^{t} - 1$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 e^{t} - 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 e^{t} - 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{t} - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Passaggio 3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 e^{t}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Passaggio 3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)}$

Passaggio 3.8

Somma $2 e^{t}$ e $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})}$

Passaggio 3.9

$2$ e $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}}$

Passaggio 3.10

$\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ e $e^{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{t \to 0} \cos (t) \frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$

Passaggio 5

$\cos (t)$ e $\frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{2 e^{t}}$

Passaggio 6

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{e^{t}}$

Passaggio 7

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $t$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) (2 e^{t} - 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Passaggio 8

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $t$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Passaggio 9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Passaggio 10

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Passaggio 11

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Passaggio 12

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Passaggio 13

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Passaggio 14

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Passaggio 15

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Passaggio 15.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Passaggio 15.3

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{0}}$

Passaggio 16

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Combina.

$\frac{1 (\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1))}{2 e^{0}}$

Passaggio 16.2

Moltiplica $\cos (0)$ per $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 e^{0}}$

Passaggio 16.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 16.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 16.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 16.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 - 1)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 16.4.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{\cos (0) \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 16.4.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 16.4.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 16.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$