Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - \frac{3}{3}}{3 x}$

Passaggio 1

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - \frac{3}{3}}{3 x}$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1 \cdot 1}{3 x}$

Passaggio 1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1}{3 x}$

Passaggio 2

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1}{x}$

Passaggio 3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1 \cdot \frac{x + 3}{x + 3}}{x}$

Passaggio 3.2

$- 1$ e $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} + \frac{- (x + 3)}{x + 3}}{x}$

Passaggio 3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 - (x + 3)}{x + 3}}{x}$

Passaggio 4

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{x + 3} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{3 - (x + 3)}{x + 3}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{(x + 3) x}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 - (x + 3)}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Passaggio 5.1.2

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Calcola il limite di $3 - (x + 3)$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - (0 + 3)}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Passaggio 5.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Somma $0$ e $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Passaggio 5.1.2.3

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Passaggio 5.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x + 3 \cdot lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 5.1.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 5.1.3.3

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 5.1.3.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 5.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 3) \cdot 0}$

Passaggio 5.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.5.1

Somma $0$ e $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot 0}$

Passaggio 5.1.3.5.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.3.5.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 5.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{(x + 3) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Passaggio 5.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - (x + 3)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Passaggio 5.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Passaggio 5.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- (x + 3)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x + 3)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Passaggio 5.3.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Passaggio 5.3.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Passaggio 5.3.4.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Passaggio 5.3.4.5

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Passaggio 5.3.4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Passaggio 5.3.5

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Passaggio 5.3.6

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

Passaggio 5.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 3) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

Passaggio 5.3.8

Moltiplica $x + 3$ per $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

Passaggio 5.3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}$

Passaggio 5.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (1 + \frac{d}{d x} [3])}$

Passaggio 5.3.11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (1 + 0)}$

Passaggio 5.3.12

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x \cdot 1}$

Passaggio 5.3.13

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x}$

Passaggio 5.3.14

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 x + 3}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 3}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite di $- 1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 3}$

Passaggio 6.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 3}$

Passaggio 6.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}$

Passaggio 6.5

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + 3}$

Passaggio 7

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 3}$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{0 + 3}$

Passaggio 8.1.2

Somma $0$ e $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{3}$

Passaggio 8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

Passaggio 8.3

Moltiplica $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{1}{9}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{9}$

Forma decimale:

$- 0.\overline{1}$