Calcolo Esempi

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

Passaggio 1

Sottrai $x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2} - x^{2}) = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2}) - x^{2} (- x^{2}) = 0$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - x^{2} (- x^{2}) = 0$

Passaggio 2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

Passaggio 2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} = 0$

Passaggio 2.4.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} = 0$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + 1 x^{4} = 0$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4} = 0$

Passaggio 3

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ rispetto a $a$ è $\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Passaggio 3.1.2

Calcola $\frac{d}{d a} [a^{3} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $a^{3} y$ rispetto a $a$ è $y \frac{d}{d a} [a^{3}]$ .

$y \frac{d}{d a} [a^{3}] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ è $n a^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$y (3 a^{2}) + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$3 y a^{2} + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $- 2 x^{2}$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $- 2 x^{2} a^{2}$ rispetto a $a$ è $- 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$3 y a^{2} - 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ è $n a^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 y a^{2} - 2 x^{2} (2 a) + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $x^{4}$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $x^{4}$ rispetto a $a$ è $0$ .

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + 0$

Passaggio 3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Somma $3 y a^{2} - 4 x^{2} a$ e $0$ .

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a$

Passaggio 3.1.5.2

Riordina i termini.

$f' (a) = 3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (a)$ rispetto a $a$ è $3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ .

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

Passaggio 4

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi $a$ da $3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $a$ da $3 a^{2} y$ .

$a (3 a y) - 4 x^{2} a = 0$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $a$ da $- 4 x^{2} a$ .

$a (3 a y) + a (- 4 x^{2}) = 0$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $a$ da $a (3 a y) + a (- 4 x^{2})$ .

$a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$

Passaggio 4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$a = 0$

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

Passaggio 4.4

Imposta $a$ uguale a $0$ .

$a = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $3 a y - 4 x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta $3 a y - 4 x^{2}$ uguale a $0$ .

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

Passaggio 4.5.2

Risolvi $3 a y - 4 x^{2} = 0$ per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Somma $4 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 a y = 4 x^{2}$

Passaggio 4.5.2.2

Dividi per $3 y$ ciascun termine in $3 a y = 4 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Dividi per $3 y$ ciascun termine in $3 a y = 4 x^{2}$ .

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Passaggio 4.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Passaggio 4.5.2.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Passaggio 4.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Passaggio 4.5.2.2.2.2.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Passaggio 4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$ vera.

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Passaggio 5

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 6

Risolvi $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ per ciascun valore di $a$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola per $a = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci $0$ a $a$ .

${(0)}^{3} y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Moltiplica $0$ per $y$ .

$0 - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

Passaggio 6.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 2 x^{2} \cdot 0 + x^{4}$

Passaggio 6.1.2.1.4

Moltiplica $- 2 x^{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.4.1

Moltiplica $0$ per $- 2$ .

$0 + 0 x^{2} + x^{4}$

Passaggio 6.1.2.1.4.2

Moltiplica $0$ per $x^{2}$ .

$0 + 0 + x^{4}$

Passaggio 6.1.2.2

Combina i termini opposti in $0 + 0 + x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + x^{4}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Somma $0$ e $x^{4}$ .

$x^{4}$

Passaggio 6.2

Calcola per $a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ a $a$ .

${(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{3} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ .

$\frac{{(4 x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $4 x^{2}$ .

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $3 y$ .

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{64 {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 x^{2 \cdot 3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{64 x^{6}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1

Scomponi $y$ da $27 y^{3}$ .

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.5

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{{(4 x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.5.2

Applica la regola del prodotto a $4 x^{2}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.5.3

Applica la regola del prodotto a $3 y$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.6.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.6.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{2 \cdot 2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.6.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.7

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.8

Moltiplica $- 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.8.1

$- 2$ e $\frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 2 (16 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.8.2

Moltiplica $16$ per $- 2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.8.3

$x^{2}$ e $\frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{2} (- 32 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.8.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.8.4.1

Sposta $x^{4}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4} x^{2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.8.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4 + 2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.8.4.3

Somma $4$ e $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{6} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.9

Sposta $- 32$ alla sinistra di $x^{6}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{- 32 \cdot x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.2

Per scrivere $- \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} \cdot \frac{3}{3} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $27 y^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{9 y^{2} \cdot 3} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.3.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1.1

Scomponi $32 x^{6}$ da $64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1.1.1

Scomponi $32 x^{6}$ da $64 x^{6}$ .

$\frac{32 x^{6} (2) - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.5.1.1.2

Scomponi $32 x^{6}$ da $- 32 x^{6} \cdot 3$ .

$\frac{32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.5.1.1.3

Scomponi $32 x^{6}$ da $32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{32 x^{6} (2 - 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{32 x^{6} (2 - 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.5.1.3

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{32 x^{6} \cdot - 1}{27 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $32$ .

$\frac{- 32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.2.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

Passaggio 6.3

Elenca tutti i punti.

$(0, x^{4}), (\frac{4 x^{2}}{3 y}, - \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4})$

Passaggio 7