Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} - e}{x - 1}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x} - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $e$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x} - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{e^{1} - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica.

$\frac{e - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $e$ da $e$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} - e}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - e$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- e$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} e^{x}$

Passaggio 2

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$e^{1}$

Passaggio 4

Semplifica.

$e$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e$

Forma decimale:

$2.71828182 \dots$