Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x {(2 x - 1)}^{5}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = x {(2 x - 1)}^{5} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x {(2 x - 1)}^{5} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x {(2 x - 1)}^{5} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 2 x - 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 2 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 2.3.1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) u^{5} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $u^{5}$ .

$y + C_{1} = \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{5}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $\frac{u}{2}$ per $\frac{u^{5}}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u \cdot u^{5}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3.3

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{1} u^{5}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{1 + 5}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3.5

Somma $1$ e $5$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3.7

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{u^{5}}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} + \frac{u^{5}}{2 \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.3.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} + \frac{u^{5}}{4} d u$

Passaggio 2.3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} d u + \int \frac{u^{5}}{4} d u$

Passaggio 2.3.5

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int u^{6} d u + \int \frac{u^{5}}{4} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{6}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{7} u^{7} + C_{2}) + \int \frac{u^{5}}{4} d u$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{7} u^{7} + C_{2}) + \frac{1}{4} \int u^{5} d u$

Passaggio 2.3.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{7} u^{7} + C_{2}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{6} u^{6} + C_{3})$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

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Passaggio 2.3.9.1

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C_{4}$

Passaggio 2.3.9.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.9.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4 \cdot 7} u^{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C_{4}$

Passaggio 2.3.9.2.2

Moltiplica $4$ per $7$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} u^{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C_{4}$

Passaggio 2.3.9.2.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} u^{7} + \frac{1}{4 \cdot 6} u^{6} + C_{4}$

Passaggio 2.3.9.2.4

Moltiplica $4$ per $6$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} u^{7} + \frac{1}{24} u^{6} + C_{4}$

Passaggio 2.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} {(2 x - 1)}^{7} + \frac{1}{24} {(2 x - 1)}^{6} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{28} {(2 x - 1)}^{7} + \frac{1}{24} {(2 x - 1)}^{6} + K$