Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x + 3$ , $y (1) = 4$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 \int x d x + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.5

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.6.3

Riordina i termini.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.7

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $4$ in $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ .

$4 = - 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$ .

$- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Passaggio 4.2

Semplifica $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Passaggio 4.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 + 3 \cdot 1 + K = 4$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Passaggio 4.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Passaggio 4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

Passaggio 4.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $- 3$ e $1$ .

$\frac{- 2}{3} + 3 + K = 4$

Passaggio 4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3} + 3 + K = 4$

Passaggio 4.2.7

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} + K = 4$

Passaggio 4.2.8

$3$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + K = 4$

Passaggio 4.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 + 3 \cdot 3}{3} + K = 4$

Passaggio 4.2.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.10.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{- 2 + 9}{3} + K = 4$

Passaggio 4.2.10.2

Somma $- 2$ e $9$ .

$\frac{7}{3} + K = 4$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $\frac{7}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 4 - \frac{7}{3}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3}$

Passaggio 4.3.3

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{7}{3}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 7}{3}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$K = \frac{12 - 7}{3}$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $7$ da $12$ .

$K = \frac{5}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{5}{3}$ a $K$ in $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{5}{3}$ a $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + \frac{5}{3}$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = - x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + 3 x + \frac{5}{3}$