Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{5} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\cos (y) + e^{y}$ .

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{5} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $\cos (y) + e^{y}$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{5} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = 6 x^{5} - 2 x + 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(\cos (y) + e^{y}) d y = (6 x^{5} - 2 x + 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \cos (y) + e^{y} d y = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \cos (y) d y + \int e^{y} d y = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\cos (y)$ rispetto a $y$ è $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} + \int e^{y} d y = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Passaggio 2.2.3

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$\sin (y) + C_{1} + e^{y} + C_{2} = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$\sin (y) + e^{y} + C_{3} = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Passaggio 2.2.5

Riordina i termini.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{5} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 \int x^{5} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) + \int - 2 x d x + \int d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 2 \int x d x + \int d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int d x$

Passaggio 2.3.6

Applica la regola costante.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1.1

$\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{6}}{6} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Passaggio 2.3.7.1.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{6}}{6} + C_{4}) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = x^{6} - x^{2} + x + C_{7}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$e^{y} + \sin (y) = x^{6} - x^{2} + x + K$