Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = e^{2 t}$

Passaggio 1

Integra entrambi i lati rispetto a $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

La derivata prima è uguale all'integrale della derivata seconda rispetto a $t$ .

$\frac{d x}{d t} = \int e^{2 t} d t$

Passaggio 1.2

Sia $u_{1} = 2 t$ . Allora $d u_{1} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sia $u_{1} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 1.2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{d x}{d t} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 1.3

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 1.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 1.5

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1})$

Passaggio 1.6

Semplifica.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1}$

Passaggio 1.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 t$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione.

$d x = (\frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}) d t$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d x = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

Passaggio 3.2

Applica la regola costante.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

Passaggio 3.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

Passaggio 3.3.3

Sia $u_{2} = 2 t$ . Allora $d u_{2} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sia $u_{2} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 3.3.3.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.3.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 3.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Passaggio 3.3.4

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Passaggio 3.3.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d t$

Passaggio 3.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Passaggio 3.3.7

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d t$

Passaggio 3.3.8

Applica la regola costante.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + C_{1} t + C_{4}$

Passaggio 3.3.9

Semplifica.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C_{1} t + C_{5}$

Passaggio 3.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 t$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{2 t} + C_{1} t + C_{5}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$x = \frac{1}{4} e^{2 t} + C t + D$