Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 3 (y + 2 x) + 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d y}{d x} = 3 y + 3 (2 x) + 1$

Passaggio 1.2

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 3 (2 x) + 1$

Passaggio 1.3

Riordina i termini.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 2 \cdot 3 x + 1$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 3 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- 3 x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 3 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- 3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (2 \cdot 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (2 \cdot 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot 1$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $e^{- 3 x}$ per $1$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- 3 x} y = \int 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{- 3 x} y = \int 6 x e^{- 3 x} d x + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$e^{- 3 x} y = 6 \int x e^{- 3 x} d x + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

$e^{- 3 x}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.4.2

$x$ e $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.4.3

$e^{- 3 x}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica $\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ per $1$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.8

Sia $u_{1} = - 3 x$ . Allora $d u_{1} = - 3 d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Sia $u_{1} = - 3 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1.1

Differenzia $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 7.8.1.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Passaggio 7.8.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3$

Passaggio 7.8.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 3} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{3}) d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.9.2

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1})) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.11

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.12.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.13

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{- 3 x} d x$

Passaggio 7.14

Sia $u_{2} = - 3 x$ . Allora $d u_{2} = - 3 d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.14.1

Sia $u_{2} = - 3 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.14.1.1

Differenzia $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 7.14.1.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.14.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Passaggio 7.14.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3$

Passaggio 7.14.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Passaggio 7.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.15.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Passaggio 7.15.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Passaggio 7.16

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Passaggio 7.17

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 7.18

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

Passaggio 7.19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.19.1

Semplifica.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 7.19.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.19.2.1

$x$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 7.19.2.2

$e^{- 3 x}$ e $\frac{x}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 7.19.2.3

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{9}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u_{1}}}{9}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 7.20

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.20.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 7.20.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

Passaggio 7.21

$e^{- 3 x}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$

Passaggio 7.22

Riordina i termini.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1

Moltiplica $- \frac{1}{3} (e^{- 3 x} x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1.1

$e^{- 3 x}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{3} x - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.1.1.2

$x$ e $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.1.2

$e^{- 3 x}$ e $\frac{1}{9}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x e^{- 3 x}}{3}$ nel numeratore.

$e^{- 3 x} y = 6 \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.3.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$e^{- 3 x} y = 3 (2) \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$e^{- 3 x} y = 3 \cdot 2 \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$e^{- 3 x} y = 2 (- x e^{- 3 x}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{- 3 x}}{9}$ nel numeratore.

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 6 \frac{- e^{- 3 x}}{9} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.5.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{- 3 x}}{9} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.5.3

Scomponi $3$ da $9$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.6

$2$ e $\frac{- e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + \frac{2 (- e^{- 3 x})}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + \frac{- 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- 3 x} y = - 2 x e^{- 3 x} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.9

Per scrivere $- 2 x e^{- 3 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 x e^{- 3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.10

$- 2 x e^{- 3 x}$ e $\frac{3}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{- 3 x} y = \frac{- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 - 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.12.1

Scomponi $2 e^{- 3 x}$ da $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 - 2 e^{- 3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.12.1.1

Scomponi $2 e^{- 3 x}$ da $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) - 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.12.1.2

Scomponi $2 e^{- 3 x}$ da $- 2 e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) + 2 e^{- 3 x} (- 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.12.1.3

Scomponi $2 e^{- 3 x}$ da $2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) + 2 e^{- 3 x} (- 1)$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3 - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.12.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- 3 x - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.13

Scomponi $- 1$ da $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x) - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.14

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x) - 1 (1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.15

Scomponi $- 1$ da $- (3 x) - 1 (1)$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x + 1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.16

Riscrivi $- (3 x + 1)$ come $- 1 (3 x + 1)$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- 1 (3 x + 1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- 3 x} y = - \frac{(2 e^{- 3 x}) (3 x + 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.18

Riordina i fattori in $- \frac{(2 e^{- 3 x}) (3 x + 1)}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Passaggio 8.1.19

$e^{- 3 x}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$

Passaggio 8.2

Dividi per $e^{- 3 x}$ ciascun termine in $e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $e^{- 3 x}$ ciascun termine in $e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{C + \frac{- 2 e^{- 3 x} (3 x + 1) - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{C + \frac{- 2 e^{- 3 x} (3 x) - 2 e^{- 3 x} \cdot 1 - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{C + \frac{- 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} \cdot 1 - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$y = \frac{C + \frac{- 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.4

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$y = \frac{C + \frac{- 6 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.3.1

Sottrai $e^{- 3 x}$ da $- 2 e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- 6 e^{- 3 x} x - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.3.2

Riordina i fattori in $- 6 e^{- 3 x} x - 3 e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- 6 x e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.4.1

Scomponi $3 e^{- 3 x}$ da $- 6 x e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.4.1.1

Scomponi $3 e^{- 3 x}$ da $- 6 x e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x) - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.4.1.2

Scomponi $3 e^{- 3 x}$ da $- 3 e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x) + 3 e^{- 3 x} (- 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.4.1.3

Scomponi $3 e^{- 3 x}$ da $3 e^{- 3 x} (- 2 x) + 3 e^{- 3 x} (- 1)$ .

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.4.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.4.2.2

Dividi $e^{- 3 x} (- 2 x - 1)$ per $1$ .

$y = \frac{C + e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{C + e^{- 3 x} (- 2 x) + e^{- 3 x} \cdot - 1}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.4.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot - 1}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.4.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x - 1 \cdot e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.4.6

Riscrivi $- 1 e^{- 3 x}$ come $- e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.3.5

Riordina i fattori in $C - 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C - 2 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$