Calcolo Esempi

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ , $y (\frac{π}{4}) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $1 + \cos (2 x)$ ciascun termine in $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $1 + \cos (2 x)$ ciascun termine in $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $1 + \cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (2 x)} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $1 + \cos (u_{1})$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$ per $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.6

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (x)$ in $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.7

Usa l'identità pitagorica per trasformare $1$ in $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Sottrai ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ da ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Passaggio 2.3.8.2

Somma ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ e ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Passaggio 2.3.8.3

Somma $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ e $0$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica l'argomento per $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.10

Combina.

$y + C_{1} = \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.11

Moltiplica ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ per $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.12

Riscrivi $\sec (\frac{u}{2})$ in termini di seno e coseno.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 2.3.13

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Passaggio 2.3.14

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Passaggio 2.3.15

Moltiplica $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.1

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.15.2

$\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ e $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Passaggio 2.3.16

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.17

Riscrivi $\sec (\frac{u}{2})$ in termini di seno e coseno.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.18

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.19

Combina.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Passaggio 2.3.20

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.20.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Passaggio 2.3.20.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.21

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.22

Moltiplica per $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

Passaggio 2.3.23

Frazioni separate.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.24

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ a $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.25

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.25.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.25.2

$\frac{1}{2}$ e $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.3.26

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.27

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , quindi $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.27.1

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.27.1.1

Differenzia $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Passaggio 2.3.27.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $\frac{u_{1}}{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 2.3.27.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.3.27.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.27.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.28

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.28.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

Passaggio 2.3.28.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2}$

Passaggio 2.3.28.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.29

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 2.3.30

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.30.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.30.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.30.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.30.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.30.3

Moltiplica $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ per $1$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.31

Poiché la derivata di $\tan (u_{2})$ è $\sec^{2} (u_{2})$ , l'integrale di $\sec^{2} (u_{2})$ è $\tan (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \tan (u_{2}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.32

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.32.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{u_{1}}{2}$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.32.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.33

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.33.1

Riduci l'espressione $\frac{2 x}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.33.1.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.33.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \tan (\frac{x}{1}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.33.2

Dividi $x$ per $1$ .

$y + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \tan (x) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $\frac{π}{4}$ e $y$ con $1$ in $y = \tan (x) + K$ .

$1 = \tan (\frac{π}{4}) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$ .

$\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$1 + K = 1$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 1 - 1$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$K = 0$

Passaggio 5

Sostituisci $0$ a $K$ in $y = \tan (x) + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $0$ a $K$ .

$y = \tan (x) + 0$

Passaggio 5.2

Somma $\tan (x)$ e $0$ .

$y = \tan (x)$