Calcolo Esempi

$e^{x} d y + (e^{x} + 1) d x = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(e^{x} + 1) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} d y = - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 d y = - \frac{1}{e^{x}} (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 d y = (- \frac{1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{e^{x}}$ nel numeratore.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}}) d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.3.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Nega l'esponente di $e^{x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.4.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Passaggio 4.3.4.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- x} d x$

Passaggio 4.3.4.2.2

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int e^{- x} d x$

Passaggio 4.3.5

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.3.5.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.3.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int - e^{u} d u$

Passaggio 4.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - - \int e^{u} d u$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + 1 \int e^{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2

Moltiplica $\int e^{u} d u$ per $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int e^{u} d u$

Passaggio 4.3.8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + e^{u} + C_{3}$

Passaggio 4.3.9

Semplifica.

$y + C_{1} = - x + e^{u} + C_{4}$

Passaggio 4.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$y + C_{1} = - x + e^{- x} + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - x + e^{- x} + K$