Calcolo Esempi

$t^{2} \frac{d y}{d t} - t = 1 + y + t y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Somma $t$ a entrambi i lati dell'equazione.

$t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $t^{2}$ ciascun termine in $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $t^{2}$ ciascun termine in $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ .

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d t}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $t$ e $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1.1

Scomponi $t$ da $t y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1.2.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $t$ e $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t^{1}}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2

Scomponi $t$ da $t^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.3.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

Passaggio 1.2.2

Per scrivere $\frac{y}{t}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t}$

Passaggio 1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $t^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $\frac{y}{t}$ per $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t \cdot t} + \frac{1}{t}$

Passaggio 1.2.3.2

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t} + \frac{1}{t}$

Passaggio 1.2.3.3

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t^{1}} + \frac{1}{t}$

Passaggio 1.2.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1 + 1}} + \frac{1}{t}$

Passaggio 1.2.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Passaggio 1.2.5

Per scrivere $\frac{1}{t}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t} \cdot \frac{t}{t}$

Passaggio 1.2.6

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $t^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $\frac{1}{t}$ per $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t \cdot t}$

Passaggio 1.2.6.2

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t}$

Passaggio 1.2.6.3

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t^{1}}$

Passaggio 1.2.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1 + 1}}$

Passaggio 1.2.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t + t}{t^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{d y}{d t} = \frac{(1 + y) + y t + t}{t^{2}}$

Passaggio 1.2.8.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 (y + 1) + t (y + 1)}{t^{2}}$

Passaggio 1.2.8.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $y + 1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{(y + 1) (1 + t)}{t^{2}}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d t} = (y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1 + t}{t^{2}}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = y + 1$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sposta $t^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{- 2} d t$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $(1 + t) t^{- 2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $t^{- 2}$ per $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $t$ per $t^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $t$ per $t^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

Passaggio 2.3.3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

Passaggio 2.3.3.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

Passaggio 2.3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{- 2}$ rispetto a $t$ è $- t^{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \int t^{- 1} d t$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $t^{- 1}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \ln (| t |) + C_{3}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| t |) = - \frac{1}{t} + C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |})} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{t} + C} = \frac{| y + 1 |}{| t |}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ogni lato per $| t |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di $| t |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y + 1 | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Passaggio 3.5.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Riordina i fattori in $e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$ .

$| y + 1 | = | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

Passaggio 3.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

Passaggio 3.5.4.3

Riordina i fattori in $\pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Passaggio 3.5.4.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t | - 1$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{- \frac{1}{t} + C}$ come $e^{- \frac{1}{t}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{t}} e^{C} | t | - 1$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{- \frac{1}{t}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$