Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = {(y + 2)}^{6}$ , $y (0) = - 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{{(y + 2)}^{6}}$ .

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di ${(y + 2)}^{6}$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = y + 2$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y + 2$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.2.2.1

Sposta $u^{6}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{6})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{6 \cdot - 1} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\int u^{- 6} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 6}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.2.4.1

Riscrivi $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1}$ come $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{5}}$ per $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.4.2.2

Sposta $5$ alla sinistra di $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 2$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $- 1$ in $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ .

$- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}} = 0 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

$0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Passaggio 4.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Passaggio 4.3

Semplifica $- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

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Passaggio 4.3.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.3.1.1

Somma $- 1$ e $2$ .

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1^{5}}$

Passaggio 4.3.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$K = - \frac{1}{5}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{1}{5}$ a $K$ in $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- \frac{1}{5}$ a $K$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x - \frac{1}{5}$