Calcolo Esempi

$e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Dividi per $e^{y}$ ciascun termine in $e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.1.1

Dividi per $e^{y}$ ciascun termine in $e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1) = 1$ .

$\frac{e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1)}{e^{y}} = \frac{1}{e^{y}}$

Passaggio 1.1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1)}{e^{y}} = \frac{1}{e^{y}}$

Passaggio 1.1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x} + 1$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 1 = \frac{1}{e^{y}}$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} - 1$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} (\frac{1}{e^{y}} - 1)$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $\frac{1}{e^{y}} - 1$ .

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} (\frac{1}{e^{y}} - 1)$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.2.1.1.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{y}}{e^{y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1 \cdot \frac{e^{y}}{e^{y}}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.1.2

$- 1$ e $\frac{e^{y}}{e^{y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{e^{y}}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{1}{\frac{1 - e^{y}}{e^{y}}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\int 1 \frac{e^{y}}{1 - e^{y}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $\frac{e^{y}}{1 - e^{y}}$ per $1$ .

$\int \frac{e^{y}}{1 - e^{y}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = 1 - e^{y}$ . Allora $d u = - e^{y} d y$ , quindi $- \frac{1}{e^{y}} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = 1 - e^{y}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $1 - e^{y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - e^{y}]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - e^{y}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{y}]$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- e^{y}]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- e^{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- e^{y}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Passaggio 2.2.2.1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ è $a^{y} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 - e^{y}$

Passaggio 2.2.2.1.4

Sottrai $e^{y}$ da $0$ .

$- e^{y}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - e^{y}$ .

$- \ln (| 1 - e^{y} |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- \ln (| 1 - e^{y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| 1 - e^{y} |) = x + C$