Calcolo Esempi

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y = x^{2} y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riordina i fattori in $e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y$ .

$\frac{d y}{d x} e^{x} + 3 y = x^{2} y$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$

Passaggio 1.1.3

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} - \frac{3 y}{e^{x}}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

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Passaggio 1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - 3 y}{e^{x}}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $y$ da $x^{2} y - 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - 3 y}{e^{x}}$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $y$ da $- 3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 3}{e^{x}}$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $y$ da $y x^{2} + y \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 3)}{e^{x}}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.1.1

Nega l'esponente di $e^{x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) {(e^{x})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{x \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- 1 \cdot x} d x$

Passaggio 2.3.1.2.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2} - 3$ e $d v = e^{- x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

Passaggio 2.3.6

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Passaggio 2.3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Passaggio 2.3.8.2

Moltiplica $\int e^{- x} d x$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Passaggio 2.3.9

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.9.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.9.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.9.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.9.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.11

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Passaggio 2.3.12

Riscrivi $(x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ come $- x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.14

Riordina i termini.

$\ln (| y |) + C_{1} = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 (x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Sottrai $2 e^{- x}$ da $3 e^{- x}$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Riordina i fattori in $e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ .

$| y | = e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ come $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$