Calcolo Esempi

$\frac{d p}{d t} - \frac{1}{t} p = t^{2} + 3 t - 2$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = - \frac{1}{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{1}{t} d t}$

Passaggio 1.2

Integra $- \frac{1}{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{t} d t}$

Passaggio 1.2.2

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$e^{- (\ln (| t |) + C)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica.

$e^{- \ln (| t |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (t)}$

Passaggio 1.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (t^{- 1})}$

Passaggio 1.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$t^{- 1}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{t} \frac{d p}{d t} + \frac{1}{t} (- \frac{1}{t} p) = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$\frac{1}{t}$ e $\frac{d p}{d t}$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} + \frac{1}{t} (- \frac{1}{t} p) = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{1}{t} (\frac{1}{t} p) = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.2.3

$\frac{1}{t}$ e $p$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{1}{t} \cdot \frac{p}{t} = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{t} \cdot \frac{p}{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica $\frac{p}{t}$ per $\frac{1}{t}$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t \cdot t} = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.2.4.2

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{1} t} = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.2.4.3

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{1} t^{1}} = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{1 + 1}} = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = \frac{1}{t} (t \cdot t) + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = \frac{1}{t} (t \cdot t) + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = t + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = t + 3 \frac{1}{t} t + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.3

$3$ e $\frac{1}{t}$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = t + \frac{3}{t} t + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.4

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = t + \frac{3}{t} t + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = t + 3 + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.5

$\frac{1}{t}$ e $- 2$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = t + 3 + \frac{- 2}{t}$

Passaggio 2.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = t + 3 - \frac{2}{t}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} p] = t + 3 - \frac{2}{t}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t} p] d t = \int t + 3 - \frac{2}{t} d t$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{t} p = \int t + 3 - \frac{2}{t} d t$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{t} p = \int t d t + \int 3 d t + \int - \frac{2}{t} d t$

Passaggio 6.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{t} p = \frac{1}{2} t^{2} + C + \int 3 d t + \int - \frac{2}{t} d t$

Passaggio 6.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{t} p = \frac{1}{2} t^{2} + C + 3 t + C + \int - \frac{2}{t} d t$

Passaggio 6.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{t} p = \frac{1}{2} t^{2} + C + 3 t + C - \int \frac{2}{t} d t$

Passaggio 6.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{t} p = \frac{1}{2} t^{2} + C + 3 t + C - (2 \int \frac{1}{t} d t)$

Passaggio 6.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{t} p = \frac{1}{2} t^{2} + C + 3 t + C - 2 \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 6.7

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{t} p = \frac{1}{2} t^{2} + C + 3 t + C - 2 (\ln (| t |) + C)$

Passaggio 6.8

Semplifica.

$\frac{1}{t} p = \frac{1}{2} t^{2} + 3 t - 2 \ln (| t |) + C$

Passaggio 7

Risolvi per $p$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{t}$ e $p$ .

$\frac{p}{t} = \frac{1}{2} t^{2} + 3 t - 2 \ln (| t |) + C$

Passaggio 7.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$\frac{p}{t} = \frac{t^{2}}{2} + 3 t - 2 \ln (| t |) + C$

Passaggio 7.2.2

Semplifica $- 2 \ln (| t |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{p}{t} = \frac{t^{2}}{2} + 3 t - \ln ({| t |}^{2}) + C$

Passaggio 7.2.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| t |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\frac{p}{t} = \frac{t^{2}}{2} + 3 t - \ln (t^{2}) + C$

Passaggio 7.3

Moltiplica ogni lato per $t$ .

$\frac{p}{t} t = (\frac{t^{2}}{2} + 3 t - \ln (t^{2}) + C) t$

Passaggio 7.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{p}{t} t = (\frac{t^{2}}{2} + 3 t - \ln (t^{2}) + C) t$

Passaggio 7.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$p = (\frac{t^{2}}{2} + 3 t - \ln (t^{2}) + C) t$

Passaggio 7.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Semplifica $(\frac{t^{2}}{2} + 3 t - \ln (t^{2}) + C) t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p = \frac{t^{2}}{2} t + 3 t \cdot t - \ln (t^{2}) t + C t$

Passaggio 7.4.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{t^{2}}{2} t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.2.1.1

$\frac{t^{2}}{2}$ e $t$ .

$p = \frac{t^{2} t}{2} + 3 t \cdot t - \ln (t^{2}) t + C t$

Passaggio 7.4.2.1.2.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.2.1.2.1

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.2.1.2.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$p = \frac{t^{2} t^{1}}{2} + 3 t \cdot t - \ln (t^{2}) t + C t$

Passaggio 7.4.2.1.2.1.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p = \frac{t^{2 + 1}}{2} + 3 t \cdot t - \ln (t^{2}) t + C t$

Passaggio 7.4.2.1.2.1.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$p = \frac{t^{3}}{2} + 3 t \cdot t - \ln (t^{2}) t + C t$

Passaggio 7.4.2.1.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.2.2.1

Sposta $t$ .

$p = \frac{t^{3}}{2} + 3 (t \cdot t) - \ln (t^{2}) t + C t$

Passaggio 7.4.2.1.2.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$p = \frac{t^{3}}{2} + 3 t^{2} - \ln (t^{2}) t + C t$

Passaggio 7.4.2.1.3

Riordina i fattori in $\frac{t^{3}}{2} + 3 t^{2} - \ln (t^{2}) t + C t$ .

$p = \frac{t^{3}}{2} + 3 t^{2} - t \ln (t^{2}) + C t$

Passaggio 7.4.2.1.4

Sposta $- t \ln (t^{2})$ .

$p = \frac{t^{3}}{2} + 3 t^{2} + C t - t \ln (t^{2})$