Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} - \frac{2 y}{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Somma $\frac{2 y}{x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = - \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = - \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{2}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{2}{x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = - x^{2} \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \cdot - 1 \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \cdot - 1 \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = - \cos (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = - \cos (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int - \cos (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x^{2} y = \int - \cos (x) d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x^{2} y = - \int \cos (x) d x$

Passaggio 7.2

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$x^{2} y = - (\sin (x) + C)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$x^{2} y = - \sin (x) + C$

Passaggio 8

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = - \sin (x) + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = - \sin (x) + C$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \sin (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \sin (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \sin (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{\sin (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$