Calcolo Esempi

$(1 + x) \frac{d y}{d x} + y = 1 + x$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $(1 + x) y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = y$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$(1 + x) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 + x) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + x) y' + y (0 + 1)$

Passaggio 1.6

Somma $0$ e $1$ .

$(1 + x) y' + y \cdot 1$

Passaggio 1.7

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$(1 + x) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Passaggio 1.8

Riordina $1$ e $x$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Passaggio 1.9

Riordina $y$ e $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Passaggio 1.10

Moltiplica $y$ per $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [(1 + x) y] = 1 + x$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x) y] d x = \int 1 + x d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$(1 + x) y = \int 1 + x d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$(1 + x) y = \int d x + \int x d x$

Passaggio 5.2

Applica la regola costante.

$(1 + x) y = x + C + \int x d x$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(1 + x) y = x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$(1 + x) y = x + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 6

Dividi per $1 + x$ ciascun termine in $(1 + x) y = x + \frac{1}{2} x^{2} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $1 + x$ ciascun termine in $(1 + x) y = x + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{(1 + x) y}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + x) y}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{x^{2}}{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Passaggio 6.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Passaggio 6.3.1.3

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $\frac{1}{1 + x}$ .

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Passaggio 6.3.2

Per scrivere $\frac{x}{1 + x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Passaggio 6.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 + x) \cdot 2$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica $\frac{x}{1 + x}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x \cdot 2}{(1 + x) \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Passaggio 6.3.3.2

Riordina i fattori di $(1 + x) \cdot 2$ .

$y = \frac{x \cdot 2}{2 (1 + x)} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Passaggio 6.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x \cdot 2 + x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Passaggio 6.3.5

Scomponi $x$ da $x \cdot 2 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.1

Scomponi $x$ da $x \cdot 2$ .

$y = \frac{x (2) + x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Passaggio 6.3.5.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y = \frac{x (2) + x \cdot x}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Passaggio 6.3.5.3

Scomponi $x$ da $x (2) + x \cdot x$ .

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Passaggio 6.3.6

Per scrivere $\frac{C}{1 + x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.3.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 (1 + x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.7.1

Moltiplica $\frac{C}{1 + x}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C \cdot 2}{(1 + x) \cdot 2}$

Passaggio 6.3.7.2

Riordina i fattori di $(1 + x) \cdot 2$ .

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Passaggio 6.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x (2 + x) + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Passaggio 6.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x \cdot 2 + x \cdot x + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Passaggio 6.3.9.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{2 \cdot x + x \cdot x + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Passaggio 6.3.9.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{2 \cdot x + x^{2} + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Passaggio 6.3.9.4

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{2 x + x^{2} + 2 C}{2 (1 + x)}$