Calcolo Esempi

$(x + y) \frac{d y}{d x} = 2 (x + y) + 1$

Passaggio 1

Sia $v = x + y$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x + y$ con $v$ .

$v \frac{d y}{d x} = 2 v + 1$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + y'$

Passaggio 3

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$v \frac{d v}{d x} - v = 2 v + 1$

Passaggio 4

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Risolvi per $\frac{d v}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d v}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Somma $v$ a entrambi i lati dell'equazione.

$v \frac{d v}{d x} = 2 v + 1 + v$

Passaggio 4.1.1.2

Somma $2 v$ e $v$ .

$v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$

Passaggio 4.1.2

Dividi per $v$ ciascun termine in $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Dividi per $v$ ciascun termine in $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ .

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Passaggio 4.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Passaggio 4.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Passaggio 4.1.2.3.1.2

Dividi $3$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 + \frac{1}{v}$

Passaggio 4.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{3 + \frac{1}{v}}$ .

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $3 + \frac{1}{v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = 1$

Passaggio 4.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = 1 d x$

Passaggio 5

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Passaggio 5.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{v}{v}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Passaggio 5.2.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{1}{\frac{3 v + 1}{v}} d v = \int d x$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\int 1 \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $\frac{v}{3 v + 1}$ per $1$ .

$\int \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Passaggio 5.2.2

Dividi $v$ per $3 v + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 v$

$1$

$v$

$0$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $v$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 v$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$

Passaggio 5.2.2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			+	$v$	+	$\frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $v + \frac{1}{3}$

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Passaggio 5.2.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{3} d v + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Passaggio 5.2.4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} v + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Passaggio 5.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Passaggio 5.2.6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $v$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 v + 1} d v) = \int d x$

Passaggio 5.2.7

Sia $u = 3 v + 1$ . Allora $d u = 3 d v$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d v$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Sia $u = 3 v + 1$ . Trova $\frac{d u}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1.1

Differenzia $3 v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [3 v + 1]$

Passaggio 5.2.7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 v + 1$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$

Passaggio 5.2.7.1.3

Calcola $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $3 v$ rispetto a $v$ è $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Passaggio 5.2.7.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [1]$

Passaggio 5.2.7.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [1]$

Passaggio 5.2.7.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $1$ rispetto a $v$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 5.2.7.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 5.2.7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Passaggio 5.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Passaggio 5.2.8.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Passaggio 5.2.9

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Passaggio 5.2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Passaggio 5.2.10.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Passaggio 5.2.11

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Passaggio 5.2.12

Semplifica.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Passaggio 5.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = x + C_{4}$

Passaggio 5.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Passaggio 6

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

$\frac{1}{3}$ e $v$ .

$\frac{v}{3} - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{9} \ln (| u |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Riordina $\ln (| u |)$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{v}{3} - (\frac{1}{9} \ln (| u |)) = x + C$

Passaggio 6.1.2.2

Semplifica $\frac{1}{9} \ln (| u |)$ spostando $\frac{1}{9}$ all'interno del logaritmo.

$\frac{v}{3} - \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}) = x + C$

Passaggio 6.2

Somma $\ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{v}{3} = x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Passaggio 6.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Passaggio 6.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Passaggio 6.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$v = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$v = 3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Passaggio 6.5

Semplifica $3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Semplifica $3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3})$

Passaggio 6.5.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9} \cdot 3})$

Passaggio 6.5.1.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 (3)} \cdot 3})$

Passaggio 6.5.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3})$

Passaggio 6.5.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.5.2

Riordina $3 x$ e $3 C$ .

$v = 3 C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 7

Semplifica la costante dell'integrazione.

$v = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $x + y$ .

$x + y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 9

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}}) - x$

Passaggio 9.2

Sottrai $x$ da $3 x$ .

$y = C + 2 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$