Calcolo Esempi

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} - \frac{1}{1 + x^{2}} y = x^{3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione come $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riordina i termini.

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y = x^{3}$

Passaggio 1.1.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - y \frac{1}{x^{2} + 1} = x^{3}$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $- y \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x^{2} + 1}) = x^{3}$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $- \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y = x^{3}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y = x^{3}$ per $x$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} x - \frac{1}{x^{2} + 1} y x = x^{3} x$

Passaggio 1.5

$\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x - \frac{1}{x^{2} + 1} y x = x^{3} x$

Passaggio 1.6

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x}$ e $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y x = x^{3} x$

Passaggio 1.7

$y$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{y}{x^{2} + 1} x = x^{3} x$

Passaggio 1.8

$x$ e $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{3} x$

Passaggio 1.9

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{3} x^{1}$

Passaggio 1.9.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{3 + 1}$

Passaggio 1.9.2

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{4}$

Passaggio 1.10

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{4}$

Passaggio 1.10.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{4}$

Passaggio 1.11

Scomponi $y$ da $- \frac{x y}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{2} + 1}) = x^{4}$

Passaggio 1.12

Riordina $y$ e $- \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{2} + 1} y = x^{4}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.2.2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Passaggio 2.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$e^{- \int \frac{1}{2 u} d u}$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C}$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{x^{2} + 1} y) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{x^{2} + 1} y) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{x^{2} + 1} y) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Passaggio 3.2.3

$\frac{x}{x^{2} + 1}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x y}{x^{2} + 1} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x y}{x^{2} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $\frac{x y}{x^{2} + 1}$ per $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $x^{2} + 1$ per ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Moltiplica $x^{2} + 1$ per ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1.1

Eleva $x^{2} + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Passaggio 3.2.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Passaggio 3.2.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Passaggio 3.2.4.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{x^{4}}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{1}}} d x$

Passaggio 7.2

Sia $x = \tan (t_{1})$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t_{1})$ è positivo.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{{(\tan^{2} (t_{1}) + 1)}^{1}}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica $\sqrt{{(\tan^{2} (t_{1}) + 1)}^{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{{(\sec^{2} (t_{1}))}^{1}}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(\sec^{2} (t_{1}))}^{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{{\sec (t_{1})}^{2 \cdot 1}}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.3.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.3.2

Elimina il fattore comune di $\sec (t_{1})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Scomponi $\sec (t_{1})$ da $\sec^{2} (t_{1})$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 7.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \tan^{4} (t_{1}) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.4

Eleva $\sec (t_{1})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \tan^{4} (t_{1}) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int {\tan (t_{1})}^{2 (2)} \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.5.2

Riscrivi ${\tan (t_{1})}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int {(\tan^{2} (t_{1}))}^{2} \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.6

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t_{1})$ come $- 1 + \sec^{2} (t_{1})$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int {(- 1 + \sec^{2} (t_{1}))}^{2} \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.7

Semplifica.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int (1 - 2 \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t)) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int 1 \sec^{1} (t_{1}) - 2 \sec^{2} (t) \sec^{1} (t_{1}) + \sec^{4} (t) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.8.2

Semplifica ciascun termine.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \sec (t_{1}) - 2 \sec^{2} (t) \sec (t_{1}) + \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \sec (t_{1}) d t_{1} + \int - 2 \sec^{2} (t) \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.10

L'integrale di $\sec (t_{1})$ rispetto a $t_{1}$ è $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (t) \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.11

Poiché $- 2 \sec^{2} (t)$ è costante rispetto a $t_{1}$ , sposta $- 2 \sec^{2} (t)$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) \int \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.12

L'integrale di $\sec (t_{1})$ rispetto a $t_{1}$ è $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.13

Poiché $\sec^{4} (t)$ è costante rispetto a $t_{1}$ , sposta $\sec^{4} (t)$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \sec^{4} (t) \int \sec (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 7.14

L'integrale di $\sec (t_{1})$ rispetto a $t_{1}$ è $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \sec^{4} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C)$

Passaggio 7.15

Semplifica.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C$

Passaggio 7.16

Sostituisci tutte le occorrenze di $t_{1}$ con $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $y$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, x)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, x)$ . Perciò, $\sec (\arctan (x))$ è $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + \tan (\arctan (x)) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Passaggio 8.2.1.1.2

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Passaggio 8.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.2.1

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Passaggio 8.2.1.2.2

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.3.1

Riordina $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ e $- 2$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \cdot \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Passaggio 8.2.1.3.2

Semplifica $- 2 \cdot \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({| \sqrt{1 + x^{2}} + x |}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Passaggio 8.2.1.4

Rimuovi il valore assoluto in ${| \sqrt{1 + x^{2}} + x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Passaggio 8.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.5.1

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Passaggio 8.2.1.5.2

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C$

Passaggio 8.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) = - \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 8.4

Riscrivi l'equazione come $- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ .

$- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$

Passaggio 8.5

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - C$

Passaggio 8.6

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

$\frac{- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Passaggio 8.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Passaggio 8.6.2.2

Dividi $\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Passaggio 8.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Passaggio 8.6.3.1.2

Dividi $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ per $1$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Passaggio 8.6.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1}$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 1 \cdot (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)) + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Passaggio 8.6.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t))$ come $- (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t))$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)) + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Passaggio 8.6.3.1.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \frac{\sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{1} + \frac{- C}{- 1}$

Passaggio 8.6.3.1.6

Dividi $\sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ per $1$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \frac{- C}{- 1}$

Passaggio 8.6.3.1.7

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \frac{C}{1}$

Passaggio 8.6.3.1.8

Dividi $C$ per $1$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C$

Passaggio 8.7

Moltiplica ogni lato per ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = (\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.1.1

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.1.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 8.8.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.2.1

Semplifica $(\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.8.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.2.1.2.1

Riordina $\sec^{4} (t)$ e $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ .

$y = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.8.2.1.2.2

Sposta $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.8.2.1.2.3

Riordina $- \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$