Calcolo Esempi

$\cos (x + y) d x + (3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = \cos (x + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x + y)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \cos (y)$ e $g (y) = x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x + y]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (u) \frac{d}{d y} [x + y]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \frac{d}{d y} [x + y]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \cdot 1$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y)$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $3 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.3.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.4

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (1 + 0)$

Passaggio 2.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) \cdot 1$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y)$

Passaggio 2.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \sin (x + y)$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $\sin (x + y)$ da $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x + y)$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- \sin (x + y)$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- \sin (x + y)$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- \sin (x + y) = - \sin (x + y)$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$- \sin (x + y) = - \sin (x + y)$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (x + y) d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = \cos (x + y)$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = x + y$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sia $u = x + y$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Differenzia $x + y$ .

$\frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 5.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 5.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 5.1.1.4

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$f (x, y) = \int \cos (u) d u$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$f (x, y) = \sin (u) + C$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$f (x, y) = \sin (x + y) + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (x + y) + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (x + y) + g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x + y) + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\sin (x + y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \sin (y)$ e $g (y) = x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Passaggio 8.3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Passaggio 8.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Passaggio 8.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Passaggio 8.3.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\cos (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Passaggio 8.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (x + y) (0 + 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Passaggio 8.3.5

Somma $0$ e $1$ .

$\cos (x + y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Passaggio 8.3.6

Moltiplica $\cos (x + y)$ per $1$ .

$\cos (x + y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$\cos (x + y) + \frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Passaggio 8.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + \cos (x + y) = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $\cos (x + y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y) - \cos (x + y)$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in $3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y) - \cos (x + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $\cos (x + y)$ da $\cos (x + y)$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + 0$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $3 y^{2} + 2 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $3 y^{2} + 2 y$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} + 2 y d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} + 2 y d y$

Passaggio 10.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (y) = \int 3 y^{2} d y + \int 2 y d y$

Passaggio 10.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y + \int 2 y d y$

Passaggio 10.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y d y$

Passaggio 10.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \int y d y$

Passaggio 10.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 10.8

Semplifica.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Passaggio 10.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Passaggio 10.9.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.2.1

Elimina il fattore comune.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Passaggio 10.9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$g (y) = 1 y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Passaggio 10.9.3

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$g (y) = y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Passaggio 10.9.4

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Passaggio 10.9.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.5.1

Elimina il fattore comune.

$g (y) = y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Passaggio 10.9.5.2

Riscrivi l'espressione.

$g (y) = y^{3} + 1 y^{2} + C$

Passaggio 10.9.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$g (y) = y^{3} + y^{2} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \sin (x + y) + g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (x + y) + y^{3} + y^{2} + C$