Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 + x^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $x = \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ è positivo.

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Rimetti in ordine i termini.

$y + C_{1} = \int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.2.2

Applica l'identità pitagorica.

$y + C_{1} = \int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $\sec (t)$ per $\sec^{2} (t)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\sec (t)$ per $\sec^{2} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 2.3.4

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{3} (t)$ .

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.3.6

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Passaggio 2.3.7

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 2.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Passaggio 2.3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Somma $1$ e $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 2.3.9.2

Riordina $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.10

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.3.11

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 2.3.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 2.3.11.3

Riordina $\sec (t)$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 2.3.12

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Passaggio 2.3.13

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 2.3.14

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Passaggio 2.3.15

Somma $1$ e $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 2.3.16

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 2.3.17

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Passaggio 2.3.18

Somma $2$ e $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 2.3.19

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 2.3.20

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 2.3.21

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 2.3.22

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.22.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 2.3.22.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 2.3.23

Risolvendo $\int \sec^{3} (t) d t$ , troviamo che $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2} + C_{3}$

Passaggio 2.3.24

Moltiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}$ per $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}}{2} + C_{3}$

Passaggio 2.3.25

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C_{4}$

Passaggio 2.3.26

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$