Calcolo Esempi

$x (1 - y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot 1 + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Passaggio 1.1.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(x + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Passaggio 1.1.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(x - x y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Passaggio 1.1.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Passaggio 1.1.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + 1 y - x y = 0$

Passaggio 1.1.1.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + y - x y = 0$

Passaggio 1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} - x y = - y$

Passaggio 1.1.2.2

Somma $x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $x \frac{d y}{d x}$ da $x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $x \frac{d y}{d x}$ da $x \frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

Passaggio 1.1.3.2

Scomponi $x \frac{d y}{d x}$ da $- x y \frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y) = - y + x y$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $x \frac{d y}{d x}$ da $x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y)$ .

$x \frac{d y}{d x} (1 - 1 y) = - y + x y$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$

Passaggio 1.1.5

Dividi per $x (1 - y)$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Dividi per $x (1 - y)$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.1.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.1.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.1.5.2.2

Elimina il fattore comune di $1 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.1.5.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.1.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.1.5.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.1.5.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y}$

Passaggio 1.1.5.3.2

Per scrivere $\frac{y}{1 - y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 1.1.5.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (1 - y)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.3.1

Moltiplica $\frac{y}{1 - y}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{(1 - y) x}$

Passaggio 1.1.5.3.3.2

Riordina i fattori di $(1 - y) x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.1.5.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + y x}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.1.5.3.5

Scomponi $y$ da $- y + y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.5.1

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y x}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.1.5.3.5.2

Scomponi $y$ da $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y (x)}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.1.5.3.5.3

Scomponi $y$ da $y \cdot - 1 + y (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 + x)}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.1.5.3.6

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) + x)}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.1.5.3.7

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) - 1 (- x))}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.1.5.3.8

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1 - x))}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.1.5.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (1 - x)}{x (1 - y)}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1 - y}{y}$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{y} (- \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} (\frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $\frac{y}{1 - y}$ per $\frac{1 - x}{x}$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $1 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1 - y}{y}$ nel numeratore.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- (1 - y)}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Passaggio 1.4.3.2

Scomponi $1 - y$ da $- (1 - y)$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Passaggio 1.4.3.3

Scomponi $1 - y$ da $(1 - y) x$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) (x)}$

Passaggio 1.4.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Passaggio 1.4.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

Passaggio 1.4.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

Passaggio 1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - x}{x}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1 - x}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Passaggio 2.2.7

Riordina i termini.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 - x}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Riordina $1$ e $- x$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{- x + 1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Dividi $- x + 1$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$0$

$x$

$1$

Passaggio 2.3.3.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$1$
	$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$

Passaggio 2.3.3.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$0$

Passaggio 2.3.3.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x + 0$

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$

Passaggio 2.3.3.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$
					+	$1$

Passaggio 2.3.3.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int - 1 + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int - 1 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 2.3.5

Applica la regola costante.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + \ln (| x |)) + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - (- x + \ln (| x |)) + C$