Calcolo Esempi

$\sin (x) d y + y^{2} \cos (x) d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi.

$y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y^{2} \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} \cos (x)]$

Passaggio 2.2

Poiché $\cos (x)$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{2} \cos (x)$ rispetto a $y$ è $\cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) (2 y)$

Passaggio 2.4

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot \cos (x) y$

Passaggio 2.4.2

Riordina i fattori di $2 \cos (x) y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y \cos (x)$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 y \cos (x)$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\cos (x)$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 y \cos (x) = \cos (x)$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 y \cos (x) = \cos (x)$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $\cos (x)$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $2 y \cos (x)$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $y^{2} \cos (x)$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $y^{2} \cos (x)$ a $M$ .

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{y^{2} \cos (x)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) - 1 \cdot 2 y \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 - 1 \cdot 2 y \cos (x)}{y^{2} \cos (x)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Scomponi $\cos (x)$ da $- 1 \cdot 2 y \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)$ .

$\frac{\cos (x) (1 - 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Passaggio 5.3.3

Sostituisci $y^{2} \cos (x)$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - 2 y}{y^{2}}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) {(y^{2})}^{- 1} d y}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{2 \cdot - 1} d y}$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{- 2} d y}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $(1 - 2 y) y^{- 2}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 1 y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $y^{- 2}$ per $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $y$ per $y^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Sposta $y^{- 2}$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y) d y}$

Passaggio 6.3.2.2

Moltiplica $y^{- 2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y^{1}) d y}$

Passaggio 6.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 2 + 1} d y}$

Passaggio 6.3.2.3

Somma $- 2$ e $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 1} d y}$

Passaggio 6.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} d y + \int - 2 y^{- 1} d y}$

Passaggio 6.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C + \int - 2 y^{- 1} d y}$

Passaggio 6.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 \int y^{- 1} d y}$

Passaggio 6.7

L'integrale di $y^{- 1}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 6.8

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 6.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1

Semplifica $- 2 \ln (| y |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln ({| y |}^{2})} + C$

Passaggio 6.9.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $y^{2} \cos (x)$ per $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d x + \sin (x) d y = 0$

Passaggio 7.2

Riordina i fattori in $y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\sin (x)$ per $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d y = 0$

Passaggio 7.4

Riordina i fattori in $\sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x$

Passaggio 9

Integra $M (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ come $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x) d x$

Passaggio 9.2

Poiché $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \int \cos (x) d x$

Passaggio 9.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \int \cos (x) d x$

Passaggio 9.4

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\sin (x) + C)$

Passaggio 9.5

Semplifica.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $\sin (x)$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ rispetto a $y$ è $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}]$ .

$\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}$ .

$\sin (x) (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

$\sin (x) (y^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)]$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = - 1$ e $g (y) = \frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.6

Riscrivi $\frac{1}{y}$ come $y^{- 1}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.9

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 \ln (y)$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.10

La derivata di $\ln (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.12

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.13

Moltiplica $y^{- 2}$ per $1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.14

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.15

Somma $y^{- 2}$ e $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.16

$- 2$ e $\frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{- 2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.3.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}))) + \sin (x) (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.5.3

Rimuovi le parentesi.

$\sin (x) y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.5.4

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.5.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.5.5.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.5.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 12.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.5.5.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.5.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.5.4.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.5.4.1.1

Scomponi $y$ da $- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + y (- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.5.5.4.1.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 12.5.5.4.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) \cdot 2 + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.5.5.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.5.6

Combina i termini opposti in $\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.6.1

Somma $- 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ e $2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + 0 = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 12.5.6.2

Somma $\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

Passaggio 13.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Semplifica $e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1.1

Semplifica $- 2 \ln (y)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

Passaggio 13.1.2.1.2

Sottrai $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ da $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ .

$0 = - \frac{d g}{d y}$

Passaggio 13.1.3

Poiché $\frac{d g}{d y}$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- \frac{d g}{d y} = 0$

Passaggio 13.1.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{d g}{d y} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{d g}{d y} = 0$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 13.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 13.1.4.2.2

Dividi $\frac{d g}{d y}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 13.1.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Passaggio 14.3

L'integrale di $0$ rispetto a $y$ è $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Passaggio 14.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

Passaggio 16

Semplifica $- 2 \ln (y)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) + C$