Calcolo Esempi

$2 x y \frac{d y}{d x} + y^{2} - 2 x = 0$

Passaggio 1

Sia $v = y^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $y^{2}$ con $v$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} + v - 2 x = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Passaggio 3

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $2 y$ da $2 x y$ .

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d v}{d x} + v - 2 x = 0$

Passaggio 4

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d v}{d x} + v = 2 x$

Passaggio 5

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $x v$ .

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Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci $\frac{d v}{d x}$ a $v'$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

Passaggio 5.5

Riordina $v$ e $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

Passaggio 5.6

Moltiplica $v$ per $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

Passaggio 6

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x v] = 2 x$

Passaggio 7

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 2 x d x$

Passaggio 8

Integra il lato sinistro.

$x v = \int 2 x d x$

Passaggio 9

Integra il lato destro.

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Passaggio 9.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$x v = 2 \int x d x$

Passaggio 9.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 9.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$x v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Passaggio 9.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 9.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x v = 1 x^{2} + C$

Passaggio 9.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x v = x^{2} + C$

Passaggio 10

Dividi per $x$ ciascun termine in $x v = x^{2} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x v = x^{2} + C$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 10.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 10.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 10.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 10.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Passaggio 10.3.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 10.3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 10.3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 10.3.1.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$v = x + \frac{C}{x}$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $y^{2}$ .

$y^{2} = x + \frac{C}{x}$

Passaggio 12

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 12.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$

Passaggio 12.2

Semplifica $\pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$ .

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Passaggio 12.2.1

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}}$

Passaggio 12.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x + C}{x}}$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$

Passaggio 12.2.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$ come $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 12.2.5

Moltiplica $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 12.2.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.6.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Passaggio 12.2.6.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Passaggio 12.2.6.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Passaggio 12.2.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Passaggio 12.2.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 12.2.6.6

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

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Passaggio 12.2.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.2.6.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 12.2.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 12.2.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.2.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 12.2.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Passaggio 12.2.6.6.5

Semplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 12.2.7

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$

Passaggio 12.2.8

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Passaggio 12.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 12.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Passaggio 12.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Passaggio 12.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$