Calcolo Esempi

$x \sqrt{x^{2} + 1} - y e^{y} \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riordina i fattori in $x \sqrt{x^{2} + 1} - y e^{y} \frac{d y}{d x}$ .

$x \sqrt{x^{2} + 1} - y \frac{d y}{d x} e^{y} = 0$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $x \sqrt{x^{2} + 1}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.3

Dividi per $- y e^{y}$ ciascun termine in $- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi per $- y e^{y}$ ciascun termine in $- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{- y \frac{d y}{d x} e^{y}}{- y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y \frac{d y}{d x} e^{y}}{y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x} e^{y}}{y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{y}}{e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Passaggio 1.1.3.2.3

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{y}}{e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Passaggio 1.1.3.2.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $y e^{y}$ .

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = y e^{y} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $y e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = y e^{y} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = x \sqrt{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$y e^{y} d y = x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y e^{y} d y = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2.4

Riordina i termini.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.3.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{3}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$e^{y} y - e^{y} = \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$