Calcolo Esempi

$(e^{x} + 1) d x + \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(e^{x} + 1) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $(y^{2} - 1) y^{- 2}$ .

$\int y^{2} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int y^{2 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.2.3.1.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\int y^{0} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica $y^{0}$ .

$\int 1 - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.2.3.3

Riscrivi $- 1 y^{- 2}$ come $- y^{- 2}$ .

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.2.5

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.2.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Semplifica.

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.2.8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.2.8.2.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - \int e^{x} + 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (\int e^{x} d x + \int d x)$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + \int d x)$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + x + C_{5})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + x) + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y + \frac{1}{y} = - (e^{x} + x) + K$