Calcolo Esempi

$x (y^{2} - 4) d x + y d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x (y^{2} - 4) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y d y = - x (y^{2} - 4) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2} - 4}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 4} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 2^{2}} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Passaggio 3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 2$ .

$\frac{1}{(y + 2) (y - 2)} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{(y + 2) (y - 2)}$ e $y$ .

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - \frac{1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $y^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y^{2} - 4}$ nel numeratore.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y^{2} - 4$ da $x (y^{2} - 4)$ .

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

Passaggio 3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - x d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \int - x d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u = (y + 2) (y - 2)$ . Allora $d u = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u = (y + 2) (y - 2)$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 2) (y - 2)]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y + 2$ e $g (y) = y - 2$ .

$(y + 2) \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$(y + 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 4.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(y + 2) (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 4.2.1.1.3.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(y + 2) (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 4.2.1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(y + 2) \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 4.2.1.1.3.4.2

Moltiplica $y + 2$ per $1$ .

$y + 2 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 4.2.1.1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$y + 2 + (y - 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2])$

Passaggio 4.2.1.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y + 2 + (y - 2) (1 + \frac{d}{d y} [2])$

Passaggio 4.2.1.1.3.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$y + 2 + (y - 2) (1 + 0)$

Passaggio 4.2.1.1.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$y + 2 + (y - 2) \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.1.3.8.2

Moltiplica $y - 2$ per $1$ .

$y + 2 + y - 2$

Passaggio 4.2.1.1.3.8.3

Somma $y$ e $y$ .

$2 y + 2 - 2$

Passaggio 4.2.1.1.3.8.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.8.4.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$2 y + 0$

Passaggio 4.2.1.1.3.8.4.2

Somma $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - x d x$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - x d x$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - x d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - x d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - x d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - x d x$

Passaggio 4.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = \int - x d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \int x d x$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Espandi $(y + 2) (y - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Combina i termini opposti in $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1.1

Riordina i fattori nei termini di $y \cdot - 2$ e $2 y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.1.2

Somma $- 2 y$ e $2 y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.1.3

Somma $y \cdot y$ e $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.2.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 4 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.3.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| y^{2} - 4 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + C)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 C$

Passaggio 5.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{2}$ nel numeratore.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y^{2} - 4 |)} = e^{- x^{2} + 2 C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + 2 C} = | y^{2} - 4 |$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$ .

$| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$

Passaggio 5.5.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 4 = \pm e^{- x^{2} + 2 C}$

Passaggio 5.5.3

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = \pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4$

Passaggio 5.5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + C} + 4}$

Passaggio 6.2

Riscrivi $e^{- x^{2} + C}$ come $e^{- x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2}} e^{C} + 4}$

Passaggio 6.3

Riordina $e^{- x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- x^{2}} + 4}$

Passaggio 6.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \pm \sqrt{C e^{- x^{2}} + 4}$