Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} + 2 e^{- x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (e^{3 x} + 2 e^{- x}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int e^{3 x} + 2 e^{- x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} + 2 e^{- x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x + \int 2 e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{1} = 3 x$ . Allora $d u_{1} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{1} = 3 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int 2 e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.3

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int 2 e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int 2 e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C_{2}) + 2 \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.7

Sia $u_{2} = - x$ . Allora $d u_{2} = - d x$ , quindi $- d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.3.7.1

Sia $u_{2} = - x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.7.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.7.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.7.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C_{2}) + 2 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C_{2}) + 2 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.10

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 (e^{u_{2}} + C_{3})$

Passaggio 2.3.11

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u_{1}} - 2 e^{u_{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 2.3.12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} - 2 e^{u_{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} - 2 e^{- x} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} - 2 e^{- x} + K$