Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{- 4 x} - 4 y$

Passaggio 1

Somma $4 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = x^{2} e^{- 4 x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 4$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 4 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{4 x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{4 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{4 x}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (x^{2} e^{- 4 x})$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (x^{2} e^{- 4 x})$

Passaggio 3.3

Moltiplica $e^{4 x}$ per $e^{- 4 x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1

Sposta $e^{- 4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{- 4 x} e^{4 x} x^{2}$

Passaggio 3.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{- 4 x + 4 x} x^{2}$

Passaggio 3.3.3

Somma $- 4 x$ e $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{0} x^{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica $e^{0} x^{2}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = x^{2}$

Passaggio 3.5

Riordina i fattori in $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = x^{2}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = x^{2}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = x^{2}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int x^{2} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{4 x} y = \int x^{2} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{4 x}$ ciascun termine in $e^{4 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{4 x}$ ciascun termine in $e^{4 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{4 x}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 8.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 8.3.1.3

Combina.

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$