Calcolo Esempi

$x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x y$ ciascun termine in $x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $x y$ ciascun termine in $x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1} \cdot \frac{1}{x y}$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $\frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ per $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (x y)}$

Passaggio 1.1.3.3

Riordina i fattori in $\frac{x^{2} + 1}{(y + 1) x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y (y + 1)}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $y (y + 1)$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = y (y + 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y \cdot y + y \cdot 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y \cdot 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica $\frac{x^{2} + 1}{x}$ per $\frac{1}{y (y + 1)}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y) \frac{x^{2} + 1}{x (y (y + 1))}$

Passaggio 1.4.5

Moltiplica $y^{2} + y$ per $\frac{x^{2} + 1}{x y (y + 1)}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} + y) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Passaggio 1.4.6

Scomponi $y$ da $y^{2} + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Passaggio 1.4.6.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y^{1}) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Passaggio 1.4.6.3

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y \cdot 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Passaggio 1.4.6.4

Scomponi $y$ da $y \cdot y + y \cdot 1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{y (y + 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Passaggio 1.4.7

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.1

Elimina il fattore comune.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{y (y + 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Passaggio 1.4.7.2

Riscrivi l'espressione.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (x^{2} + 1)}{x (y + 1)}$

Passaggio 1.4.8

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.8.1

Elimina il fattore comune.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (x^{2} + 1)}{x (y + 1)}$

Passaggio 1.4.8.2

Riscrivi l'espressione.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$y (y + 1) d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y (y + 1) d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica $y (y + 1)$ .

$\int y \cdot y + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int y^{1} y + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int y^{1} y^{1} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int y^{1 + 1} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int y^{2} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\int y^{2} + y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y^{2} d y + \int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$