Calcolo Esempi

$2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}}) d x + (x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})]$

Passaggio 1.2

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [3 x + y - y e^{- x^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [3 x + y - y e^{- x^{2}}]$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + y - y e^{- x^{2}}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y e^{- x^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y e^{- x^{2}}])$

Passaggio 1.4

Poiché $3 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y e^{- x^{2}}])$

Passaggio 1.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y e^{- x^{2}}])$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (1 + \frac{d}{d y} [- y e^{- x^{2}}])$

Passaggio 1.7

Poiché $- e^{- x^{2}}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y e^{- x^{2}}$ rispetto a $y$ è $- e^{- x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (1 - e^{- x^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (1 - e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 1.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (1 - e^{- x^{2}})$

Passaggio 1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + 2 x (- e^{- x^{2}})$

Passaggio 1.10.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 x (- e^{- x^{2}})$

Passaggio 1.10.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 2 x e^{- x^{2}}$

Passaggio 1.10.3

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{- x^{2}} x + 2 x$

Passaggio 1.10.4

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x^{2}} x + 2 x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.2.3

Poiché $3 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 e^{- x^{2}} x + 2 x$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x^{2}} x + 2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 2 x e^{- x^{2}} + 2 x = - 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$- 2 x e^{- x^{2}} + 2 x = - 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}} d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int 3 y^{2} d y + \int e^{- x^{2}} d y$

Passaggio 5.2

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int 3 y^{2} d y + \int e^{- x^{2}} d y$

Passaggio 5.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \int y^{2} d y + \int e^{- x^{2}} d y$

Passaggio 5.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int e^{- x^{2}} d y$

Passaggio 5.5

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + e^{- x^{2}} y + C$

Passaggio 5.6

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 (\frac{y^{3}}{3} + C) + e^{- x^{2}} y + C$

Passaggio 5.7

Semplifica.

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.4

Poiché $y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 y x + 0 + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.5

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $e^{- x^{2}} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$2 y x + 0 + y \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.5.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2}$ .

$2 y x + 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.5.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 y x + 0 + y (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.5.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2}$ .

$2 y x + 0 + y (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.5.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y x + 0 + y (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y x + 0 + y (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.5.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 y x + 0 + y e^{- x^{2}} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.6

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + 0 + y e^{- x^{2}} (- 2 x) + \frac{d g}{d x} = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Somma $2 y x$ e $0$ .

$2 y x + y e^{- x^{2}} (- 2 x) + \frac{d g}{d x} = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.7.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 e^{- x^{2}} x y = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 8.7.3

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 e^{- x^{2}} x y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica $2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 0 + 0 + 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 9.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Passaggio 9.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 x (3 x) + 2 x y + 2 x (- y e^{- x^{2}})$

Passaggio 9.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x y + 2 x (- y e^{- x^{2}})$

Passaggio 9.1.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x y - 2 x (y e^{- x^{2}})$

Passaggio 9.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.5.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.5.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 \cdot 3 (x \cdot x) + 2 x y - 2 x (y e^{- x^{2}})$

Passaggio 9.1.1.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 \cdot 3 x^{2} + 2 x y - 2 x (y e^{- x^{2}})$

Passaggio 9.1.1.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 6 x^{2} + 2 x y - 2 x (y e^{- x^{2}})$

Passaggio 9.1.1.6

Riordina i fattori in $6 x^{2} + 2 x y - 2 x (y e^{- x^{2}})$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 6 x^{2} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 6 x^{2} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} - 2 x y$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $2 x y e^{- x^{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} - 2 x y + 2 x y e^{- x^{2}}$

Passaggio 9.1.2.3

Combina i termini opposti in $6 x^{2} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} - 2 x y + 2 x y e^{- x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.3.1

Sottrai $2 x y$ da $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} - 2 x y e^{- x^{2}} + 0 + 2 x y e^{- x^{2}}$

Passaggio 9.1.2.3.2

Somma $6 x^{2} - 2 x y e^{- x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} - 2 x y e^{- x^{2}} + 2 x y e^{- x^{2}}$

Passaggio 9.1.2.3.3

Somma $- 2 x y e^{- x^{2}}$ e $2 x y e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} + 0$

Passaggio 9.1.2.3.4

Somma $6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $6 x^{2}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 10.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 6 \int x^{2} d x$

Passaggio 10.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 10.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Riscrivi $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ come $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Passaggio 10.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

$6$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{6}{3} x^{3} + C$

Passaggio 10.5.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{3} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$g (x) = 2 x^{3} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + 2 x^{3} + C$

Passaggio 12

Riordina i fattori in $f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + 2 x^{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + y e^{- x^{2}} + 2 x^{3} + C$