Calcolo Esempi

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{1}{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y}{x}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 1.4

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + \ln (| x |)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Passaggio 2.3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $| x |$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $\frac{1}{| x |}$ per $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Passaggio 2.3.4

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Passaggio 2.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Passaggio 2.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Passaggio 2.3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Passaggio 2.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $0$ e $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.3.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.3.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Passaggio 2.4.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Passaggio 2.4.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{1}{x}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{x}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = \frac{y}{x}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , sposta $y$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Passaggio 8

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y \ln (| x |) + g (y)] = y^{2} + \ln (| x |)$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi.

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Passaggio 9.1.2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Passaggio 9.1.2.2

Poiché $\frac{1}{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y}{x}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 9.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 9.1.2.4

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Passaggio 9.1.3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Passaggio 9.1.3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + \ln (| x |)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Passaggio 9.1.3.2.2

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Passaggio 9.1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Passaggio 9.1.3.3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Passaggio 9.1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Passaggio 9.1.3.3.2

La derivata di $| x |$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Passaggio 9.1.3.3.3

Moltiplica $\frac{1}{| x |}$ per $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Passaggio 9.1.3.3.4

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Passaggio 9.1.3.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Passaggio 9.1.3.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Passaggio 9.1.3.3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Passaggio 9.1.3.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Passaggio 9.1.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.4.1

Somma $0$ e $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Passaggio 9.1.3.4.2

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Passaggio 9.1.3.4.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.4.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Passaggio 9.1.3.4.3.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 9.1.3.4.3.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.4.3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Passaggio 9.1.3.4.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Passaggio 9.1.3.4.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 9.1.4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Sostituisci $\frac{1}{x}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{x}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 9.1.4.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ è un'identità.

Passaggio 9.1.5

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Passaggio 9.1.6

Integra $M (x, y) = \frac{y}{x}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , sposta $y$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 9.1.6.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 9.1.6.3

Semplifica.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Passaggio 9.1.7

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Passaggio 9.1.8

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Passaggio 9.1.9

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1

Semplifica $\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1.1

Elimina il fattore comune di $d$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Passaggio 9.1.9.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Passaggio 9.1.9.1.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $y \ln (| x |) + g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Passaggio 9.1.9.1.3

Scomponi $y$ da $y \ln (| x |) + g y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1.3.1

Scomponi $y$ da $y \ln (| x |)$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Passaggio 9.1.9.1.3.2

Scomponi $y$ da $g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + y g}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Passaggio 9.1.9.1.3.3

Scomponi $y$ da $y \ln (| x |) + y g$ .

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Passaggio 9.1.9.1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Passaggio 9.1.9.1.4.2

Dividi $\ln (| x |) + g$ per $1$ .

$\ln (| x |) + g = y^{2} + \ln (| x |)$

Passaggio 9.1.10

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| x |) - \ln (| x |) = - g + y^{2}$

Passaggio 9.1.11

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Passaggio 9.1.12

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.12.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Passaggio 9.1.12.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (1) = - g + y^{2}$

Passaggio 9.1.13

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$0 = - g + y^{2}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $- g + y^{2}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $0 = - g + y^{2}$ .

$\int 0 d y = \int - g + y^{2} d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int 0 d y$ .

$g (y) = \int - g + y^{2} d y$

Passaggio 10.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (y) = \int - g d y + \int y^{2} d y$

Passaggio 10.4

Applica la regola costante.

$g (y) = - g y + C + \int y^{2} d y$

Passaggio 10.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 10.6

Semplifica.

$g (y) = - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{y^{3}}{3} + C$