Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi la frazione $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{y}$

Passaggio 1.2

Presupponi che $\sqrt{y^{2}} = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{y^{2}}}$

Passaggio 1.3

Combina $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ e $\sqrt{y^{2}}$ in un singolo radicale.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}}$

Passaggio 1.4

Dividi $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Dividi la frazione $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione differenziale come $f (\frac{y}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riscrivi $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ come ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{x}{y})}^{2} + 1}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi $\frac{x}{y}$ come ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2} + 1}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Semplifica $V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(V^{- 1})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 1 \cdot 2} + 1}$

Passaggio 6.1.1.1.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 2} + 1}$

Passaggio 6.1.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + 1}$

Passaggio 6.1.1.1.1.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + \frac{V^{2}}{V^{2}}}$

Passaggio 6.1.1.1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}}$

Passaggio 6.1.1.1.1.5

Riscrivi $\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}$ come ${(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1.5.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $1 + V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2}}}$

Passaggio 6.1.1.1.1.5.2

Scomponi la potenza perfetta $V^{2}$ su $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 6.1.1.1.1.5.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})}$

Passaggio 6.1.1.1.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V} \sqrt{1 + V^{2}}$

Passaggio 6.1.1.1.1.7

$\frac{1}{V}$ e $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Per scrivere $V$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{V}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Passaggio 6.1.1.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Passaggio 6.1.1.1.4

Moltiplica $V$ per $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Passaggio 6.1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Passaggio 6.1.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Dividi la frazione $\frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ in due frazioni.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Passaggio 6.1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $V^{2}$ e $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.2.1

Scomponi $V$ da $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Passaggio 6.1.1.2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.2.2.1

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V^{1}} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Passaggio 6.1.1.2.2.2.2.2

Scomponi $V$ da $V^{1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Passaggio 6.1.1.2.2.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Passaggio 6.1.1.2.2.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Passaggio 6.1.1.2.2.2.2.5

Dividi $V$ per $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Passaggio 6.1.1.2.3

Combina i termini opposti in $V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} + 0$

Passaggio 6.1.1.2.3.2

Somma $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2

Combina.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3

Moltiplica $\sqrt{1 + V^{2}}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V x}$

Passaggio 6.1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Moltiplica $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.2.1

Moltiplica $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.2.2

Eleva $\sqrt{1 + V^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.2.3

Eleva $\sqrt{1 + V^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.2.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ come $1 + V^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + V^{2}}$ come ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.2.6.5

Semplifica.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.3

Combina.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Passaggio 6.1.4.4

Elimina il fattore comune di $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.4.1

Scomponi $V$ da $V \sqrt{1 + V^{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Passaggio 6.1.4.4.2

Scomponi $V$ da $V x$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V (x)}$

Passaggio 6.1.4.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Passaggio 6.1.4.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{x}$

Passaggio 6.1.4.5

Moltiplica $\sqrt{1 + V^{2}}$ per $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.4.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}}$ per $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.7

Eleva $\sqrt{1 + V^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.8

Eleva $\sqrt{1 + V^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.10

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.11

Riscrivi ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ come $1 + V^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + V^{2}}$ come ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.11.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.11.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.11.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.11.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.11.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.11.5

Semplifica.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.12

Elimina il fattore comune di $1 + V^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.12.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.12.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sia $u = 1 + V^{2}$ . Allora $d u = 2 V d V$ , quindi $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Sia $u = 1 + V^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Differenzia $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + V^{2}$ rispetto a $V$ è $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $1$ rispetto a $V$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Passaggio 6.2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Passaggio 6.2.2.1.1.5

Somma $0$ e $2 V$ .

$2 V$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ come $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.6.2.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6.2.3

Moltiplica $u^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + V^{2}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(1 + V^{2})}^{1} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Semplifica.

$1 + V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1$

Passaggio 6.3.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$

Passaggio 6.3.3.3

Semplifica $\pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 6.3.3.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \ln (| x |) + C$ e $b = 1$ .

$V = \pm \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Passaggio 6.3.3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Passaggio 6.3.3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.