Calcolo Esempi

$4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $4 t x$ ciascun termine in $4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $4 t x$ ciascun termine in $4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$ .

$\frac{4 t x \frac{d x}{d t}}{4 t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 t x \frac{d x}{d t}}{4 t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t x \frac{d x}{d t}}{t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t x \frac{d x}{d t}}{t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \frac{d x}{d t}}{x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Passaggio 1.1.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d x}{d t}}{x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Dividi $\frac{d x}{d t}$ per $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $4 t x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{x (4 t)} + \frac{1}{4 t x}$

Passaggio 1.1.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{x (4 t)} + \frac{1}{4 t x}$

Passaggio 1.1.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x}{4 t} + \frac{1}{4 t x}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per scrivere $\frac{x}{4 t}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x}{4 t} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{4 t x}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $\frac{x}{4 t}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Passaggio 1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x + 1}{4 t x}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2} + 1}{4 t x}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{t}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} (\frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{t})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{x^{2} + 1}{4 x}$ per $\frac{1}{t}$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x t}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $4 x$ da $4 x t$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x (t)}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x t}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{t}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{t}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{t}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.2.2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2.5.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2.5.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) = \ln (| t |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) - \ln (| t |) = C$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $2 \ln (| x^{2} + 1 |) - \ln (| t |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) - \ln (| t |) = C$

Passaggio 3.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - \ln (| t |) = C$

Passaggio 3.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}) = C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |})} = e^{C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} = e^{C}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} = e^{C}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ogni lato per $| t |$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di $| t |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C} | t |$

Passaggio 3.5.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x^{2} + 1 = \pm \sqrt{e^{C} | t |}$

Passaggio 3.5.4.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x^{2} + 1 = \sqrt{e^{C} | t |}$

Passaggio 3.5.4.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = \sqrt{e^{C} | t |} - 1$

Passaggio 3.5.4.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Passaggio 3.5.4.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Passaggio 3.5.4.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Passaggio 3.5.4.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Passaggio 3.5.4.2.5

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x^{2} + 1 = - \sqrt{e^{C} | t |}$

Passaggio 3.5.4.2.6

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - \sqrt{e^{C} | t |} - 1$

Passaggio 3.5.4.2.7

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Passaggio 3.5.4.2.8

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.8.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Passaggio 3.5.4.2.8.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Passaggio 3.5.4.2.8.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Passaggio 3.5.4.2.9

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$x = \sqrt{\sqrt{C | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{C | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{C | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{C | t |} - 1}$