Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = y^{- 1} x^{- 3}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{- 1}}$ .

$\frac{1}{y^{- 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 1}} (y^{- 1} x^{- 3})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $y^{- 1}$ da $y^{- 1} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{y^{- 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 1}} (y^{- 1} (x^{- 3}))$

Passaggio 1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{- 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 1}} (y^{- 1} x^{- 3})$

Passaggio 1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{- 1}} \frac{d y}{d x} = x^{- 3}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{- 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{- 1}} d y = \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{- 1}} d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $y^{- 1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{- 3} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2 x^{2}} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 x^{2}}$ nel numeratore.

$y^{2} = 2 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$y^{2} = 2 \frac{- 1}{2 (x^{2})} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = \frac{- 1}{x^{2}} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{1}{x^{2}} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2}} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2}} + 2 K}$ .

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Passaggio 3.4.1

Per scrivere $2 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 K x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi $\frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}$ come ${(\frac{1}{x})}^{2} (- 1 + 2 K x^{2})$ .

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Passaggio 3.4.3.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $- 1 + 2 K x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2}}}$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi la potenza perfetta $x^{2}$ su $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.4.3.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (- 1 + 2 K x^{2})}$

Passaggio 3.4.4

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{x} \sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}$

Passaggio 3.4.5

$\frac{1}{x}$ e $\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{- 1 + K x^{2}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{- 1 + K x^{2}}}{x}$