Calcolo Esempi

$(y x - y) d y - (y + 1) d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi.

$- (y + 1) d x + (y x - y) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = - (y + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (y + 1)]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- (y + 1)$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y + 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + 0)$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y x - y]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y x$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 1 = y$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 1 = y$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $- 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y + 1}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $- (y + 1)$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $- (y + 1)$ a $M$ .

$\frac{y + 1}{- (y + 1)}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y + 1}{- (y + 1)}$

Passaggio 5.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.3

Sostituisci $- (y + 1)$ a $M$ .

$- 1$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - 1 d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Passaggio 6.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $- (y + 1) d x + (y x - y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- (y + 1)$ per $e^{- y}$ .

$- (y + 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(- y - 1 \cdot 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(- y - 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

Passaggio 7.4

Applica la proprietà distributiva.

$(- y e^{- y} - 1 e^{- y}) d x + (y x - y) d y = 0$

Passaggio 7.5

Riscrivi $- 1 e^{- y}$ come $- e^{- y}$ .

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x - y) d y = 0$

Passaggio 7.6

Moltiplica $y x - y$ per $e^{- y}$ .

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x - y) e^{- y} d y = 0$

Passaggio 7.7

Applica la proprietà distributiva.

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x e^{- y} - y e^{- y}) d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - y e^{- y} - e^{- y} d x$

Passaggio 9

Integra $M (x, y) = - y e^{- y} - e^{- y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $(- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $(- y e^{- y} - e^{- y}) x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [- y e^{- y} - e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [- y e^{- y} - e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- y e^{- y} - e^{- y}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [- y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$x (\frac{d}{d y} [- y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y e^{- y}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ .

$x (- \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = e^{- y}$ .

$x (- (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- y$ .

$x (- (y (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.5.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (- (y (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- e^{- y}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - \frac{d}{d y} [e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.10

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.10.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.10.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.10.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.13

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x (- (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.14

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- y}$ .

$x (- (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.15

Riscrivi $- 1 e^{- y}$ come $- e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.16

Moltiplica $e^{- y}$ per $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.17

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (e^{- y} \cdot - 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.18

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (- 1 \cdot e^{- y})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.19

Riscrivi $- 1 e^{- y}$ come $- e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - - e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.20

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + 1 e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.3.21

Moltiplica $e^{- y}$ per $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (- (y (- e^{- y})) - e^{- y} + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (- (y (- e^{- y}))) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (1 (y (e^{- y}))) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.5.3.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x (y e^{- y}) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.5.3.3

Somma $x (- e^{- y})$ e $x e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.3.3.1

Riordina $x$ e $- 1$ .

$x y e^{- y} - 1 \cdot x e^{- y} + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.5.3.3.2

Somma $- 1 \cdot x e^{- y}$ e $x e^{- y}$ .

$x y e^{- y} + 0 + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.5.3.4

Somma $x y e^{- y}$ e $0$ .

$x y e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.5.4

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y} x y = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 12.5.5

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d y} + e^{- y} x y$ .

$\frac{d g}{d y} + x y e^{- y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sottrai $x y e^{- y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y} - x y e^{- y}$

Passaggio 13.1.2

Combina i termini opposti in $y x e^{- y} - y e^{- y} - x y e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Riordina i fattori nei termini di $y x e^{- y}$ e $- x y e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = e^{- y} x y - y e^{- y} - e^{- y} x y$

Passaggio 13.1.2.2

Sottrai $e^{- y} x y$ da $e^{- y} x y$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y} + 0$

Passaggio 13.1.2.3

Somma $- y e^{- y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $- y e^{- y}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

Passaggio 14.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

Passaggio 14.4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Passaggio 14.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Passaggio 14.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Passaggio 14.6.2

Moltiplica $\int e^{- y} d y$ per $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Passaggio 14.7

Sia $u = - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.7.1

Sia $u = - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.7.1.1

Differenzia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 14.7.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 14.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 14.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 14.7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Passaggio 14.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Passaggio 14.9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Passaggio 14.10

Riscrivi $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ come $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Passaggio 14.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Passaggio 14.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Passaggio 14.12.2

Moltiplica $- (- y e^{- y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Passaggio 14.12.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Passaggio 14.12.3

Moltiplica $- - e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.12.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Passaggio 14.12.3.2

Moltiplica $e^{- y}$ per $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Passaggio 16

Semplifica $f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = - y e^{- y} x - e^{- y} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Passaggio 16.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = - y e^{- y} x - e^{- y} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = - y x e^{- y} - x e^{- y} + y e^{- y} + e^{- y} + C$