Calcolo Esempi

$(t^{2} + 1) d t + (y^{2} + y) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(t^{2} + 1) d t$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(y^{2} + y) d y = - (t^{2} + 1) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} + y d y = \int - (t^{2} + 1) d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y^{2} d y + \int y d y = \int - (t^{2} + 1) d t$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int y d y = \int - (t^{2} + 1) d t$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int - (t^{2} + 1) d t$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - (t^{2} + 1) d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- (t^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - t^{2} - 1 \cdot 1 d t$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - t^{2} - 1 d t$

Passaggio 2.3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - t^{2} d t + \int - 1 d t$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \int t^{2} d t + \int - 1 d t$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) + \int - 1 d t$

Passaggio 2.3.6

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - t + C_{5}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

$\frac{1}{3}$ e $t^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{t^{3}}{3} + C_{4}) - t + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{3} t^{3} - t + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{3} t^{3} - t + K$