Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{1 + x} y^{2}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1 + x}{x^{2}}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} (\frac{x^{2}}{1 + x} y^{2})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

$\frac{x^{2}}{1 + x}$ e $y^{2}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2})$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2}))$

Passaggio 1.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2})$

Passaggio 1.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1 + x}{x^{2}} d x = y^{2} d y$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1 + x}{x^{2}} d x = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.2.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (1 + x) x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$\int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ .

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Passaggio 2.2.3.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.3.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C_{1} + \int x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- x^{- 1} + C_{1} + \ln (| x |) + C_{2} = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) = \frac{1}{3} y^{3} + C$