Calcolo Esempi

$y = a e^{v} + \frac{b}{v} + c v^{2}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a e^{v} + \frac{b}{v} + c v^{2}$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [a e^{v}] + \frac{d}{d v} [\frac{b}{v}] + \frac{d}{d v} [c v^{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [a e^{v}] + \frac{d}{d v} [\frac{b}{v}] + \frac{d}{d v} [c v^{2}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d v} [a e^{v}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $a e^{v}$ rispetto a $v$ è $a \frac{d}{d v} [e^{v}]$ .

$a \frac{d}{d v} [e^{v}] + \frac{d}{d v} [\frac{b}{v}] + \frac{d}{d v} [c v^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d v} [a^{v}]$ è $a^{v} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$a e^{v} + \frac{d}{d v} [\frac{b}{v}] + \frac{d}{d v} [c v^{2}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d v} [\frac{b}{v}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $b$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $\frac{b}{v}$ rispetto a $v$ è $b \frac{d}{d v} [\frac{1}{v}]$ .

$a e^{v} + b \frac{d}{d v} [\frac{1}{v}] + \frac{d}{d v} [c v^{2}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{v}$ come $v^{- 1}$ .

$a e^{v} + b \frac{d}{d v} [v^{- 1}] + \frac{d}{d v} [c v^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$a e^{v} + b (- v^{- 2}) + \frac{d}{d v} [c v^{2}]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d v} [c v^{2}]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $c$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $c v^{2}$ rispetto a $v$ è $c \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$a e^{v} + b (- v^{- 2}) + c \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$a e^{v} + b (- v^{- 2}) + c (2 v)$

Passaggio 4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $c$ .

$a e^{v} + b (- v^{- 2}) + 2 c v$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a e^{v} + b (- \frac{1}{v^{2}}) + 2 c v$

Passaggio 5.2

$b$ e $\frac{1}{v^{2}}$ .

$a e^{v} - \frac{b}{v^{2}} + 2 c v$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$e^{v} a + 2 c v - \frac{b}{v^{2}}$

Passaggio 5.4

Riordina i fattori in $e^{v} a + 2 c v - \frac{b}{v^{2}}$ .

$a e^{v} + 2 c v - \frac{b}{v^{2}}$