Calcolo Esempi

${(2 y + 1)}^{3} - 24 x = - 3$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(2 y + 1)}^{3} - 24 x) = \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa il teorema binomiale.

$\frac{d}{d x} [{(2 y)}^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 y$ .

$\frac{d}{d x} [2^{3} y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Passaggio 2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Passaggio 2.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $2 y$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (2^{2} y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Passaggio 2.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (4 y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Passaggio 2.2.1.5

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Passaggio 2.2.1.6

Moltiplica $12$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Passaggio 2.2.1.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Passaggio 2.2.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1 + 1^{3} - 24 x]$

Passaggio 2.2.1.9

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1^{3} - 24 x]$

Passaggio 2.2.1.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x]$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 y^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$8 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$8 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$8 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $3$ per $8$ .

$24 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [12 y^{2}]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 y^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$24 y^{2} y' + 12 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$24 y^{2} y' + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.4.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 y y') + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $2$ per $12$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [6 y]$ .

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Passaggio 2.5.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 y$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 2.7

Calcola $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Passaggio 2.7.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \cdot 1$

Passaggio 2.7.3

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24$

Passaggio 2.8

Somma $24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ e $0$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24$

Passaggio 3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24 = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Somma $24$ a entrambi i lati dell'equazione.

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' = 24$

Passaggio 5.2

Scomponi $6 y'$ da $24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $6 y'$ da $24 y^{2} y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 24 y y' + 6 y' = 24$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $6 y'$ da $24 y y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' = 24$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $6 y'$ da $6 y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $6 y'$ da $6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y)$ .

$6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $6 y'$ da $6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1$ .

$6 y' (4 y^{2} + 4 y + 1) = 24$

Passaggio 5.3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 5.3.1

Riscrivi $4 y^{2}$ come ${(2 y)}^{2}$ .

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1) = 24$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1^{2}) = 24$

Passaggio 5.3.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 1$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi il polinomio.

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) \cdot 1 + 1^{2}) = 24$

Passaggio 5.3.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 2 y$ e $b = 1$ .

$6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$

Passaggio 5.4

Dividi per $6 {(2 y + 1)}^{2}$ ciascun termine in $6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $6 {(2 y + 1)}^{2}$ ciascun termine in $6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ .

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di ${(2 y + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Elimina il fattore comune di $24$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Scomponi $6$ da $24$ .

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.4.3.1.2.1

Scomponi $6$ da $6 {(2 y + 1)}^{2}$ .

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 ({(2 y + 1)}^{2})}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$