Calcolo Esempi

$\int \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{\sqrt{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$\frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)}$ e $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 2.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 2.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 2.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 2.2.6

Converti da $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ a $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\cot^{2} (t)$ come $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Poiché la derivata di $- \cot (t)$ è $\csc^{2} (t)$ , l'integrale di $\csc^{2} (t)$ è $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Passaggio 7

Semplifica.

$- t - \cot (t) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (x)$ .

$- \arcsin (x) - \cot (\arcsin (x)) + C$