Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2} + 18}{x^{3} - 9 x} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 9 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 18}{x \cdot x^{2} - 9 x}$

Passaggio 1.1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- 9 x$ .

$\frac{x^{2} + 18}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 9}$

Passaggio 1.1.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$\frac{x^{2} + 18}{x (x^{2} - 9)}$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 18}{x (x^{2} - 3^{2})}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{x^{2} + 18}{x ((x + 3) (x - 3))}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{x^{2} + 18}{x (x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{x - 3}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x^{2} + 18) (x (x + 3) (x - 3))}{x (x + 3) (x - 3)} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 18) (x (x + 3) (x - 3))}{x (x + 3) (x - 3)} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x^{2} + 18) ((x + 3) (x - 3))}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 18) ((x + 3) (x - 3))}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x^{2} + 18) (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.7

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 18) (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.7.2

Dividi $x^{2} + 18$ per $1$ .

$x^{2} + 18 = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 18 = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.1.2

Dividi $A ((x + 3) (x - 3))$ per $1$ .

$x^{2} + 18 = A ((x + 3) (x - 3)) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.2

Espandi $(x + 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 18 = A (x (x - 3) + 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 18 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 18 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.3

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.3.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 3$ e $3 x$ .

$x^{2} + 18 = A (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.3.2

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$x^{2} + 18 = A (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.3.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$x^{2} + 18 = A (x \cdot x + 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.4.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 18 = A (x^{2} + 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.4.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$x^{2} + 18 = A (x^{2} - 9) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.5

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 18 = A x^{2} + A \cdot - 9 + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.6

Sposta $- 9$ alla sinistra di $A$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.7

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.7.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + \frac{B (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.7.2

Dividi $(B) (x (x - 3))$ per $1$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + (B) (x (x - 3)) + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.8

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B (x \cdot x + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.9

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B (x^{2} + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.10

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B (x^{2} - 3 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.11

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} + B (- 3 x) + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.12

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.13

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.13.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{C (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 1.1.8.13.2

Dividi $(C) (x (x + 3))$ per $1$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + (C) (x (x + 3))$

Passaggio 1.1.8.14

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + C (x \cdot x + x \cdot 3)$

Passaggio 1.1.8.15

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + C (x^{2} + x \cdot 3)$

Passaggio 1.1.8.16

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + C (x^{2} + 3 \cdot x)$

Passaggio 1.1.8.17

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{2} + C (3 x)$

Passaggio 1.1.8.18

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{2} + 3 C x$

Passaggio 1.1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Sposta $B$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} + 3 C x$

Passaggio 1.1.9.2

Sposta $- 9 A$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} + 3 C x - 9 A$

Passaggio 1.1.9.3

Sposta $- 3 x B$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - 3 x B + 3 C x - 9 A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B + C$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 3 B + 3 C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$18 = - 9 A$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$18 = - 9 A$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$18 = - 9 A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $18 = - 9 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 9 A = 18$ .

$- 9 A = 18$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 A = 18$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 A = 18$ .

$\frac{- 9 A}{- 9} = \frac{18}{- 9}$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

Passaggio 1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 9 A}{- 9} = \frac{18}{- 9}$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

Passaggio 1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{18}{- 9}$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$A = \frac{18}{- 9}$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$A = \frac{18}{- 9}$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

Passaggio 1.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.3.1

Dividi $18$ per $- 9$ .

$A = - 2$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$A = - 2$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$A = - 2$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$A = - 2$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = A + B + C$ con $- 2$ .

$1 = (- 2) + B + C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$1 = - 2 + B + C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

$1 = - 2 + B + C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

$1 = - 2 + B + C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = - 2 + B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 + B + C = 1$ .

$- 2 + B + C = 1$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B + C = 1 + 2$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Passaggio 1.3.3.2.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1 + 2 - C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Passaggio 1.3.3.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $3 - C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = - 3 B + 3 C$ con $3 - C$ .

$0 = - 3 (3 - C) + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $- 3 (3 - C) + 3 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = - 3 \cdot 3 - 3 (- C) + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.2

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$0 = - 9 - 3 (- C) + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$0 = - 9 + 3 C + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 9 + 3 C + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Somma $3 C$ e $3 C$ .

$0 = - 9 + 6 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 9 + 6 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 9 + 6 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 9 + 6 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.5

Risolvi per $C$ in $0 = - 9 + 6 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 9 + 6 C = 0$ .

$- 9 + 6 C = 0$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.5.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 C = 9$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.5.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 C = 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 C = 9$ .

$\frac{6 C}{6} = \frac{9}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 C}{6} = \frac{9}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.5.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{9}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{9}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{9}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.3.1.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$C = \frac{3 (3)}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$C = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$C = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $\frac{3}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $B = 3 - C$ con $\frac{3}{2}$ .

$B = 3 - (\frac{3}{2})$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Semplifica $3 - (\frac{3}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1.1

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$B = 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.6.2.1.2

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.6.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$B = \frac{3 \cdot 2 - 3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.6.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$B = \frac{6 - 3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.6.2.1.4.2

Sottrai $3$ da $6$ .

$B = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

$B = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

$B = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

$B = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

$B = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Passaggio 1.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{3}{2}, C = \frac{3}{2}, A = - 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{x - 3}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{2}{x} + \frac{\frac{3}{2}}{x + 3} + \frac{\frac{3}{2}}{x - 3}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{2}{x} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x + 3} + \frac{\frac{3}{2}}{x - 3}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{x + 3}$ .

$- \frac{2}{x} + \frac{3}{2 (x + 3)} + \frac{\frac{3}{2}}{x - 3}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{2}{x} + \frac{3}{2 (x + 3)} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{x - 3}$ .

$\int - \frac{2}{x} + \frac{3}{2 (x + 3)} + \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{2 (x + 3)} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{2 (x + 3)} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- (2 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{3}{2 (x + 3)} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Passaggio 5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 (x + 3)} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{2 (x + 3)} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x + 3} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Passaggio 8

Sia $u_{1} = x + 3$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{1} = x + 3$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Passaggio 10

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 3} d x$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = x - 3$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = x - 3$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 11.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 11.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 11.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$- 2 \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 3$ .

$- 2 \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| x + 3 |) + \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 3$ .

$- 2 \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| x + 3 |) + \frac{3}{2} \ln (| x - 3 |) + C$