Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3} + x^{2} - x + 1}{x^{3}} d x$

Passaggio 1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3} d x$

Passaggio 3

Espandi $(x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{3} + x^{2} - x) x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{3} + x^{2}) x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{3} x^{- 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{3 - 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 3.5

Sottrai $3$ da $3$ .

$\int x^{0} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 3.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\int 1 + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 1 + x^{2 - 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 3.8

Sottrai $3$ da $2$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 3.9

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int 1 + x^{- 1} - (x \cdot x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 3.10

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - (x^{1} x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 3.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 1 + x^{- 1} - x^{1 - 3} + 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 3.12

Sottrai $3$ da $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

Passaggio 3.13

Moltiplica $x^{- 3}$ per $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Passaggio 3.14

Riordina $1$ e $x^{- 1}$ .

$\int x^{- 1} + 1 - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Passaggio 3.15

Sposta $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + 1 + x^{- 3} d x$

Passaggio 3.16

Sposta $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} + 1 d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Passaggio 5

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int d x$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + x + C$

Passaggio 10

Semplifica.

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$